The Sharp Bound of the Third Hankel Determinant for Quasi-Convex Mappings in Complex Banach Spaces
Abstract Let $$\mathcal {K}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> be the familiar class of normalized convex univalent functions in the unit disk. Let $$f(z)=z+\sum \limits _{m=2}^\infty a_mz^m \in \mathcal {K}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Kowalczyk, Lecko and Sim proved the following sharp estimate: $$\begin{aligned} |H_{3,1}(f)|\le \frac{4}{135}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mn>135</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$H_{3,1}(f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the third Hankel determinant $$\begin{aligned} H_{3,1}(f)= \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3 \\ a_2&a_3&a_4 \\ a_3&a_4&a_5 \end{vmatrix}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub>
Authors
- Renata Długosz (ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7938-8882)
- Piotr Liczberski (ORCID: https://orcid.org/0000-0002-5178-0727)
- Qinghua Xu
Institutions
- Zhejiang University of Science and Technology (CN)
- Lodz University of Technology (PL)
Publication Details
- Journal
- Complex Analysis and Operator Theory
- Published
- 2025-12-22
- DOI
- https://doi.org/10.1007/s11785-025-01888-z
- Primary Topic
- Analytic and geometric function theory
- Type
- article
- Field-Weighted Citation Impact
- 0.00