A Weighted Formulation of Refined Decoupling and Inequalities of Mizohata–Takeuchi-Type for the Moment Curve

Abstract Let $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> be a compact patch of a well-curved $$C^{n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> curve in $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with induced Lebesgue measure $$\textrm{d} \lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and let $$g \mapsto \widehat{g \,\textrm{d}\lambda }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> be the Fourier extension operator for $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> . Then we have, for arbitrary non-negative weights w , $$\begin{aligned} \int _{B_R} |\widehat{g \,\textrm{d}\lambda }|^2w \le C_{n,a} R^{a} \sup _S \left( \int _S w\right) \int _\Gamma |g|^2 \, \textrm{d} \lambda \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:munder> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for any $$a&gt; \frac{n-3}{2} + \frac{2}{n} - \frac{2}{n^2(n+1)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo>