Questions de densité diverses en théorie des suites de Lucas

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de divisibilité de l'ordre multiplicatif modulo des nombres premiers. En particulier, nous nous intéressons à leurs extensions aux suites de Lucas à valeurs entières ou polynomiales sur des corps finis. Cette étude prend ses origines dans les travaux de Hasse sur la densité de Dirichlet des premiers pour lesquels un entier fixé satisfait certaines conditions de divisibilité, modulo ces premiers. De plus, ces résultats sont reliés à la conjecture d'Artin sur les racines primitives et à la distribution des diviseurs premiers des suites récurrentes.Pour les suites de Lucas, l'analogue de l'ordre multiplicatif est le rang d'apparition des premiers. Étudier la divisibilité de ce rang par un entier fixé généralise le problème posé par Hasse. Des formules explicites des densités sont connues pour les suites dont le polynôme caractéristique est réductible, et des travaux récents dus à Sanna traitent le cas irréductible pour certains entiers.Dans le contexte des corps de fonctions globaux, nous étendons les résultats de Sanna aux suites de Lucas polynomiales. Nous présentons des formules explicites de la densité dans la plupart des cas, ainsi que des programmes SageMath pour calculer les différentes constantes rentrant en jeu. Cela rend les résultats complètement explicites.Enfin, pour les suites de Lucas usuelles à valeurs entières, nous démontrons des formules explicites pour la densité asymptotique des premiers dont le rang d'apparition est divisible par un entier pair, sous certaines hypothèses. Comme dans le cas des corps de fonctions, nous présentons des programmes SageMath calculant explicitement les constantes utilisées.