Fractal Structure of Intervals Between Squares and the Asymptotic Thinning of Prime Numbers

This work is a theoretical-geometric study and proposes a qualitative model. The conclusions are heuristic and point to a possible direction for rigorous analytical justification. A fractal-dynamic approach to studying the structure of the natural series is proposed, based on the operations of squaring and the difference of squares. It is shown that the sequence of differences of squares of consecutive odd numbers generates a system of nested numerical axes isomorphic to the natural series. This mechanism is interpreted as the primary act of a fractal sieve possessing the property of structural self-reproduction. The key element of the model is the concept of a separator — a dominant arithmetic filter whose function is inherited and transformed at each fractal transition. Based on the construction, an explicit recurrence formula for the sequence of structural nodes Aₙ₊₁=2Aₙ²+1 is derived, quantitatively linking quadratic scaling with the hierarchy of arising filters. The model explains why at the second level the number 5 acts as the main separator and introduces the principle of minimal regularity, which determines the choice of the active filter at each scale. The work lays the foundations for a new geometric paradigm for analyzing the distribution of prime numbers, linking the elementary algebra of squares with the dynamics of cascade thinning. The obtained structural relations create a basis for the subsequent derivation of asymptotic laws and interpretation of the Riemann Hypothesis in future research. Revision note (2025.12.17): The work's logic has been refined, with many earlier elements set aside. The focus is now narrowed to the approach of the fractal separator. This allows for a more complete study of the symmetry governing the emergence (or "birth") of prime numbers. The proposed model of a dynamic separator provides a tool for revealing the patterns of prime number appearance within a range associated with the square of a given odd number. Работа представляет собой теоретико-геометрическое исследование и предлагает качественную модель. Полученные выводы носят эвристический характер и указывают на возможное направление для строгого аналитического обоснования. Предлагается фрактально-динамический подход к исследованию структуры натурального ряда, основанный на операциях возведения в квадрат и разности квадратов. Показано, что последовательность разностей квадратов соседних нечётных чисел порождает систему вложенных числовых осей, изоморфных натуральному ряду. Этот механизм интерпретируется как первичный акт фрактального решета, обладающего свойством структурного самовоспроизведения. Ключевым элементом модели является концепция сепаратора — доминирующего арифметического фильтра, функция которого наследуется и трансформируется при каждом фрактальном переходе. На основе конструкции выводится явная рекуррентная формула для последовательности структурных узлов Aₙ₊₁=2Aₙ²+1, количественно связывающая квадратичное масштабирование с иерархией возникающих фильтров. Модель объясняет, почему на втором уровне в качестве основного сепаратора выступает число 5, и вводит принцип минимальной регулярности, определяющий выбор активного фильтра на каждом масштабе. Работа закладывает основы для новой геометрической парадигмы анализа распределения простых чисел, связывая элементарную алгебру квадратов с динамикой каскадного прореживания. Полученные структурные соотношения создают базу для последующего вывода асимптотических законов и интерпретации гипотезы Римана в будущих исследованиях. Корректировка от 2025.12.17: Логика работы была скорректирована, многие ранние элементы отброшены. Основное внимание теперь сосредоточено на подходе к фрактальному сепаратору. Это позволяет более полно изучить поведение симметрии рождения простых чисел. Предлагаемая модель динамического сепаратора даёт инструмент для выявления закономерностей появления простых чисел в диапазоне, связанном с квадратом некоторого нечётного числа. Бұл жұмыс теориялық-геометриялық зерттеу болып табылады және сапалық модель ұсынады. Тұжырымдары эвристикалық сипатта болып, қатаң аналитикалық негіздеу үшін мүмкін бағытты көрсетеді. Табиғи қатардың құрылымын зерттеуге арналған фракталды-динамикалық тәсіл ұсынылған, ол квадраттау және квадраттардың айырмасы амалдарына негізделген. Көрсетілгендей, көршілес тақ сандардың квадраттарының айырмаларының тізбегі табиғи қатарға изоморфты кірістірілген сандық осьтер жүйесін туғызады. Бұл механизм құрылымдық өздігінен көбейу қасиетіне ие фракталдық електің бастапқы әрекеті ретінде түсіндіріледі. Модельдің негізгі элементі сепаратор тұжырымдамасы болып табылады — әрбір фракталдық ауысым кезінде функциясы мұраланған және трансформацияланған басым арифметикалық сүзгі. Құрылым негізінде Aₙ₊₁=2Aₙ²+1 тізбектік түйіндер тізбегі үшін ашық рекуррентті формула шығарылды, ол квадраттық масштабтауды пайда болатын сүзгілердің иерархиясымен сандық түрде байланыстырады. Модель екінші деңгейде неге 5 саны негізгі сепаратор ретінде әрекет ететінін түсіндіріп, әрбір масштабта белсенді сүзгіні таңдауды анықтайтын ең аз үйлесімділік принципін енгізеді. Жұмыс жай сандардың таралуын талдаудың жаңа геометриялық парадигмасының негізін салады, квадраттардың элементар алгебрасын каскадтық сиреу динамикасымен байланыстырады. Алынған құрылымдық қатынастар келесі зерттеулерде асимптотикалық заңдарды шығару және Риман гипотезасын түсіндіру үшін негіз жасайды. 2025.12.17 бойынша түзету: Жұмыстың логикасы өзгертілді, бұрынғы көптеген элементтер қайта қаралды. Негізгі назар енді фракталды сепаратор тәсіліне аударылды. Бұл жай сандардың туу симметриясының әрекетін толығырақ зерттеуге мүмкіндік береді. Ұсынылған динамикалық сепаратор моделі белгілі бір тақ санның квадратымен байланысты диапазондағы жай сандардың пайда болу заңдылықтарын ашу үшін құрал береді.