Fractal Structure of Intervals Between Squares and the Asymptotic Thinning of Prime Numbers

This work presents a theoretical-geometric investigation and offers a qualitative model. The obtained conclusions are heuristic in nature and indicate a possible direction for rigorous analytical justification. A fractal-dynamic model of prime number distribution is proposed, based on the operations of squaring and differences of squares. It is shown that the sequence of differences of squares of consecutive odd numbers generates a system of nested numerical axes isomorphic to the natural series. This mechanism is interpreted as a cascading sieve: each fractal transition not only creates geometric self-similarity but also induces a change in the dominant arithmetic filter (separator), leading to a systematic thinning of the density of prime candidates. Based on the model, a key quantitative prediction is obtained: the ratio of prime densities at scales N and N² tends to 1/2. This result, consistent with the Prime Number Theorem, allows for a new geometric interpretation of the Riemann Hypothesis: the critical line Re(s)=1/2 is considered as a reflection in the complex plane of the same quadratic-fractal symmetry that manifests in the natural series as the fundamental scaling law of density ρ(N²)/ρ(N) → 1/2. The model does not claim to provide a rigorous proof of classical theorems but offers a unified structural principle connecting elementary arithmetic of squares, cascading sieve dynamics, asymptotic law, and the Riemann Hypothesis. Amendment as of 2025.12.14. As a result of the article's revision, the central outcome is now the establishment of a structural link and interdependence between the original natural series and the fractally generated series (via the difference of squares). It is shown that this link is the causal mechanism determining the asymptotic scaling of prime number density. Работа представляет собой теоретико-геометрическое исследование и предлагает качественную модель. Полученные выводы носят эвристический характер и указывают на возможное направление для строгого аналитического обоснования. Предлагается фрактально-динамическая модель распределения простых чисел, основанная на операциях возведения в квадрат и разности квадратов. Показано, что последовательность разностей квадратов соседних нечётных чисел порождает систему вложенных числовых осей, изоморфных натуральному ряду. Этот механизм интерпретирован как каскадное решето: каждый фрактальный переход не только создаёт геометрическое самоподобие, но и индуцирует смену доминирующего арифметического фильтра (сепаратора), что приводит к систематическому разрежению плотности кандидатов в простые числа. На основе модели получено ключевое количественное предсказание: отношение плотностей простых чисел на масштабах N и N² стремится к 1/2. Этот результат, согласующийся с теоремой о простых числах, позволяет предложить новую геометрическую интерпретацию гипотезы Римана: критическая линия Re(s)=1/2 рассматривается как отражение в комплексной плоскости той же квадратично-фрактальной симметрии, которая в натуральном ряду проявляется как фундаментальный закон масштабирования плотности ρ(N²)/ρ(N) → 1/2. Модель не претендует на строгое доказательство классических теорем, но предлагает единый структурный принцип, связывающий элементарную арифметику квадратов, каскадную динамику решета, асимптотический закон и гипотезу Римана. Корректировка от 2025.12.14. В результате переработки статьи центральным стал результат, устанавливающий структурную связь и взаимозависимость между исходным натуральным рядом и фрактально порождённым рядом (через разность квадратов). Показано, что эта связь является причинным механизмом, определяющим асимптотическое масштабирование плотности простых чисел. Бұл жұмыс теориялық-геометриялық зерттеуді ұсынады және сапалық модель ұсынады. Алынған қорытындылар эвристикалық сипатқа ие және қатаң аналитикалық негіздеме үшін ықтимал бағытты көрсетеді. Жай сандардың таралуының фракталды-динамикалық моделі ұсынылады, ол квадраттау және квадраттардың айырмашылығы операцияларына негізделген. Көршілес тақ сандардың квадраттарының айырмашылықтарының тізбегі натурал қатарға изоморфты кірістірілген сандық осьтер жүйесін туғызатыны көрсетілген. Бұл механизм каскадтық елек ретінде түсіндіріледі: әрбір фракталдық ауысу геометриялық өзін-өзі ұқсастықты қана құрмай, сонымен қатар басым арифметикалық сүзгінің (сепаратордың) ауысуын индукциялайды, бұл жай сандарға үміткерлердің тығыздығының жүйелі түрде сиреуіне әкеледі. Модель негізінде кілтті сандық болжам алынды: N және N² масштабтарындағы жай сандардың тығыздықтарының қатынасы 1/2-ге ұмтылады. Бұл нәтиже, Жай Сандар Теоремасына сәйкес келе отырып, Риман Гипотезасына жаңа геометриялық түсінік беруге мүмкіндік береді: шекті сызық Re(s)=1/2 натурал қатарда тығыздықтың масштабтау негізгі заңы ретінде көрінетін сол квадраттық-фракталдық симметрияның кешенді жазықтықтағы шағылысы ретінде қарастырылады. Модель классикалық теоремалардың қатаң дәлелін ұсынуды мақсат етпейді, бірақ квадраттардың элементарлық арифметикасын, каскадты елек динамикасын, асимптотикалық заңды және Риман Гипотезасын байланыстыратын бірыңғай құрылымдық принципті ұсынады. 2025.12.14 Бойынша Түзету. Мақаланы қайта өңдеу нәтижесінде орталық нәтиже ретінде бастапқы натурал қатар мен фракталды түрде туындаған қатардың (квадраттардың айырмашылығы арқылы) арасындағы құрылымдық байланыс пен өзара тәуелділікті орнату болды. Бұл байланыс жай сандардың тығыздығының асимптотикалық масштабталуын анықтайтын себептік механизм екені көрсетілді.