Méthodes cinétiques pour des problèmes hyperboliques sur maillages non structurés

L'objectif à long terme de ce travail est de construire un schéma cinétique pour l'interaction fluide-structure dans des régimes de dynamique rapide. Nous nous intéresserons au développement et à l'analyse de schémas Volumes Finis basés sur des méthodes cinétiques à la Jin et Xin, dans un cadre Eulérien et Lagrangien. Les méthodes cinétiques que nous considérons consistent à approcher la solution d'un système d'équations hyperboliques par une collection d'équations de transport linéaires avec un terme source non linéaire sous la forme d'un opérateur de type Bhatnagar-Gross-Krook (BGK), permettant de construire des schémas numériques pour des équations hyperboliques sans utiliser de solveur de Riemann. Également appelées méthodes de type ``Vector Lattice-Boltzmann'' (VLBM), elles diffèrent des méthodes LBM conventionnelles dans le sens où une famille de vecteurs est considérée pour chaque équation du système hyperbolique, plutôt qu'un scalaire. Cette approche augmente la taille du problème mais en réduit considérablement la complexité, ce qui la rend compétitive pour la simulation numérique. En 2022, R. Abgrall et D. Torlo ont proposé un schéma cinétique explicite d'ordre arbitrairement élevé permettant de prendre une constante CFL supérieure à 1 afin de limiter la dissipation numérique, sur maillage régulier. Dans le cadre de l'interaction fluide-structure, nous cherchons à construire un schéma dans lequel le fluide et le solide ne se mélangent pas au sein d'une même maille. Les méthodes dites Lagrange avec mise à jour, dans lesquelles le maillage se déplace à la vitesse du fluide, sont donc particulièrement bien adaptées à ce type de problème, car elles permettent une capture précise des discontinuités de contact. Pour éviter une déformation excessive du maillage, les méthodes Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) re-maillent la solution à chaque pas de temps sur une grille plus régulière. Les schémas Volumes Finis centrés sont particulièrement bien adaptés à ce type de technique. Notre premier objectif est donc de construire un schéma Eulérien approchant la solution des équations hyperboliques sur des maillages 1D non uniformes, avant d'étudier des schémas lagrangiens centrés basés sur les méthodes cinétiques, facilement extensibles aux schémas ALE. Dans cette thèse, nous commençons par proposer l'extension à des maillages 1D non uniformes du schéma numérique Eulérien d'ordre arbitrairement élevé de R. Abgrall et D. Torlo. En premier lieu, nous considérons un schéma Différences Finies et montrons que cette méthode numérique n'est pas conservative, mais nous démontrons un théorème de Lax-Wendroff sous des conditions restrictives sur le maillage. Nous proposons alors une alternative Volumes Finis à ce schéma afin d'assouplir cette condition. Ce nouveau schéma est une généralisation du schéma Différences Finies aux maillages non uniformes, puisque nous prouvons l'égalité des flux des deux schémas sur maillage uniforme. Ensuite, nous construisons plusieurs schémas Lagrangiens centrés basés sur des méthodes cinétiques pour les équations d'Euler. Ces schémas Lagrangiens Volumes Finis sont conservatifs par construction et invariants par changement de repère Galiléen. Nous montrons que deux d'entre eux sont entropiques au niveau semi-discret. Enfin, nous étendons ces schémas Eulériens et Lagrangiens à des maillages multi-dimensionnels non structurés.