Continuous adjoint method for calculating sensitivities to geometry changes

The aim of this work is to develop an analytical formulation to calculate the sensitivities to geometric changes using the continuous adjoint method. The primary goal is to obtain closed-form, efficient, and robust expressions that quantify how surface deformation modifies an aerodynamic functional, with particular emphasis on drag force. Starting from a PDE-level Lagrangian, first variations are integrated by parts to obtain the adjoint equations and their boundary terms, and Hadamards variation is used to map normal wall displacements into equivalent boundary-condition perturbations. The formulation yields sensitivities to body force, boundary data, and geometry within a unified framework, and provides a physical interpretation of the theoretical result. The methodology is applied to both steady and unsteady regimes. In the unsteady case, two strategies are compared: instantaneous sensitivity, evaluated at each time, and time-averaged sensitivity, based on a temporal average of the functional. The results show that the time-averaged sensitivity is more robust and more useful for design. The thesis further extends the adjoint formulation to the turbulent case using the SpalartAllmaras model. The coupled adjoint system is derived, incorporating the effective viscosity in the momentum operator and adding an adjoint transport equation for the model working variable, together with corrections in the boundary terms and in the shape gradient. Typical boundary conditions and their impact on sensitivity are discussed. The framework is implemented with finite elements, validated against reference test cases. Overall, the thesis contributes (i) a clear analytical formulation for shape sensitivity, (ii) evidence of the practical superiority of time-averaged sensitivity in unsteady flows, and (iii) a rigorous extension of the adjoint to the SpalartAllmaras closure. RESUMEN El objetivo de este trabajo es desarrollar una formulación analítica para calcular sensibilidades respecto a cambios de geometría mediante el método adjunto continuo. El objetivo principal es disponer de expresiones cerradas, eficientes y estables que permitan evaluar cómo una deformación de la superficie modifica un funcional aerodinámico, con especial atención a la fuerza de arrastre. Partiendo de la Lagrangiana a nivel PDE, se integran por partes las variaciones para obtener las ecuaciones adjuntas y sus términos de contorno, y se usa la variación de Hadamard para mapear desplazamientos normales de la pared en perturbaciones equivalentes de la condición de contorno. La formulación proporciona sensibilidades a fuerza volumétrica, a condición de contorno y a geometría en un marco unificado, además de proporcionar una explicacion fisica del resultado teórico. La metodología se aplica tanto al régimen estacionario como al no estacionario. En el caso no estacionario se comparan dos estrategias: la sensibilidad instantánea, evaluada en cada tiempo, y la sensibilidad media, basada en un promedio temporal del funcional. Los resultados muestran que la sensibilidad media es más robusta y útil para diseños. La tesis extiende además la formulación adjunta al caso turbulento mediante el modelo de SpalartAllmaras. Se deriva el sistema adjunto acoplado, que incluye la viscosidad efectiva en el operador de cantidad de movimiento y una ecuación adjunta adicional para la variable de trabajo del modelo, junto con correcciones en los términos del contorno y en el gradiente de forma. Se discuten las diferentes condiciones de contorno y su impacto en la sensibilidad. El marco se implementa en elementos finitos, se valida frente a cálculos de referencia y se ilustra en configuraciones canónicas con cilindros bidimensionales. En conjunto, la tesis aporta: (i) una formulación analítica clara para sensibilidad de forma, (ii) evidencia de la superioridad práctica de la sensibilidad media en no estacionario, y (iii) la extensión rigurosa del adjunto al cierre de SpalartAllmaras.