Fractal Structure of Intervals Between Squares and the Asymptotic Thinning of Prime Numbers

This work is a theoretical-geometric study and proposes a qualitative model. The obtained conclusions are heuristic in nature and point to a possible direction for rigorous analytical justification. This paper proposes a geometric model of prime number distribution based on the fractal structure arising between squares of consecutive odd and prime numbers. It is shown that differences of squares of neighboring odd numbers generate a system of nested numerical axes isomorphic to the natural series. This construction is generalized to intervals Jₙ= [pₙ², pₙ₊₁²] between squares of consecutive primes, leading to the fractal self-similarity hypothesis: the distribution of prime numbers within Jₙ, after affine compression, is statistically similar to the distribution of primes on initial segments of the natural series. Based on this hypothesis, a heuristic derivation of the classical asymptotic π(x) ~ x / ln(x) is presented, demonstrating that the logarithmic thinning is a consequence of the quadratic growth of interval boundaries and the cascade scaling of the numerical axis. A possible connection between the model and the appearance of the parameter ½ in the Riemann Hypothesis is discussed. The model does not claim to be a rigorous proof but offers a novel geometric interpretation of the reasons behind the logarithmic behavior of prime density. Changes as of 2025 12 12. Added Section 2.4, which shows the explicit formula of fractality for the emergence of odd squares S(n+1) = S(n) + 8(n+1). I believe that subsequently, this will become the decisive factor in the distribution of prime numbers, because as shown in the work (https://zenodo.org/records/17780132 "A Geometric Model of Prime Number Distribution Based on the Square Structure of Composite Numbers"), odd squares are the axis of symmetry for composite numbers, and since only composites and primes exist (n > 1) ∈ P, the axis of symmetry for one should also be the axis of symmetry for the other. The question lies only in the nature of this symmetry. It is possible that a number is prime if and only if it violates the fractal symmetry of the square intervals. Работа представляет собой теоретико-геометрическое исследование и предлагает качественную модель. Полученные выводы носят эвристический характер и указывают на возможное направление для строгого аналитического обоснования. В работе предлагается геометрическая модель распределения простых чисел, основанная на фрактальной структуре, возникающей между квадратами последовательных нечётных и простых чисел. Показано, что разности квадратов соседних нечётных чисел порождают систему вложенных числовых осей, изоморфных натуральному ряду. Эта конструкция обобщается на интервалы Jₙ= [pₙ², pₙ₊₁²] между квадратами последовательных простых чисел, что позволяет выдвинуть гипотезу фрактального самоподобия: распределение простых чисел внутри Jₙ после аффинного сжатия статистически подобно распределению простых на начальных отрезках натурального ряда. На основе этой гипотезы представлен эвристический вывод классической асимптотики π(x) ~ x / ln(x), показывающий, что логарифмическое разрежение является следствием квадратичного роста границ интервалов и каскадного масштабирования числовой оси. Обсуждается возможная связь модели с появлением параметра ½ в гипотезе Римана. Модель не претендует на строгое доказательство, но предлагает новую геометрическую интерпретацию причин логарифмического поведения плотности простых чисел. Изменения от 2025 12 12. Добавлен раздел 2.4 который показывает явную формулу фрактальности возникновения квадратов нечётных чисел S(n+1) = S(n) + 8(n+1). Думаю в последствии именно это станет решающим фактором распределения простых чисел, потому что как было показано в работе (https://zenodo.org/records/17780132 "Геометрическая модель распределения простых чисел, основанная на квадратной структуре составных чисел") квадраты нечётных являются осью симметрии для составных чисел, а раз существуют только составные и простые (n > 1) ∈ P, то ось симметрии для одних так же должна быть осью симметрии для других. Вопрос лишь в том какова эта симметрия. Возможно, что число является простым тогда и только тогда, когда оно нарушает фрактальную симметрию квадратных интервалов. Бұл жұмыс теориялық-геометриялық зерттеу болып табылады және сапалы модельді ұсынады. Алынған қорытындылар евристикалық сипатқа ие және қатаң аналитикалық негіздеу үшін мүмкін бағытты көрсетеді. Бұл жұмыста жай сандардың таралуының геометриялық моделі ұсынылған. Ол тақ және жай сандардың квадраттары арасында пайда болатын фракталдық құрылымға негізделген. Көршілес тақ сандардың квадраттарының айырмасы натурал қатарға изоморфты ішкі салынған сандық осьтер жүйесін тудыратыны көрсетілген. Бұл құрылым тізбектей жай сандардың квадраттары арасындағы Jₙ= [pₙ², pₙ₊₁²] интервалдарына жалпыланады, бұл фракталдық өзін-өзіне ұқсастық гипотезасына әкеледі: Jₙ интервалындағы жай сандардың таралуы аффиндік сығылғаннан кейін статистикалық түрде натурал қатардың бастапқы сегменттеріндегі жай сандардың таралуына ұқсас. Осы гипотезаға сүйене отырып, классикалық π(x) ~ x / ln(x) асимптотикалық заңының евристикалық түрде шығарылуы ұсынылған, бұл логарифмдік сиреудің интервал шекараларының квадраттық өсуінің және сандық осьтің каскадтық масштабталуының салдары екенін көрсетеді. Модельдің Риман Гипотезасындағы ½ параметрінің пайда болуымен байланысы мүмкіндігі талқыланады. Модель қатаң дәлелдеуге талап етпейді, бірақ жай сандар тығыздығының логарифмдік мінез-құлқының себептеріне жаңа геометриялық түсіндірмені ұсынады. Өзгерістер 2025 12 12. 2.4-бөлім қосылды, ол тақ квадраттардың пайда болуының фракталдылығының айқын формуласын көрсетеді S(n+1) = S(n) + 8(n+1). Менің ойымша, болашақта дәл осы жай сандардың таралуының шешуші факторына айналады, себебі жұмыста көрсетілгендей (https://zenodo.org/records/17780132 "Құрама сандардың квадраттық құрылымына негізделген жай сандардың таралуының геометриялық моделі"), тақ квадраттар құрама сандар үшін симметрия осі болып табылады, ал тек құрама және жай сандар бар болғандықтан (n > 1) ∈ P, біреуі үшін симметрия осі екіншісі үшін де симметрия осі болуы керек. Мәселе тек осы симметрияның қандай екенінде. Санның жай болуы тек және тек квадраттық интервалдардың фракталдық симметриясын бұзған жағдайда ғана мүмкін болуы мүмкін.