Méthodes assistées par ordinateur pour des modèles de diffusion en dynamique des populations : diffusion croisée, réactions non-locales, et stabilité

L’analyse des systèmes de diffusion croisée non linéaire constitue un enjeu majeur pour la compréhension de phénomènes physiques ou biologiques complexes. Les méthodes assistées par ordinateur offrent des outils puissants pour apporter des réponses précises et rigoureuses à des questions théoriques telles que l’existence et la stabilité des états stationnaires, ou la recherche de valeurs propres dans des situations concrètes.Cette thèse propose l’application et l’adaptation de ces méthodes dans le cadre des modèles de diffusion croisée et de réaction-diffusion non locale ou non homogène. Une première étude concerne un modèle de chimiotaxie intégrant une non-linéarité dans le terme de diffusion. Nous y développons un outil spécifique pour traiter cette non-linéarité, permettant d’établir l’existence de plusieurs états stationnaires grâce à un théorème du point fixe dont les hypothèses sont vérifiées par ordinateur.Une seconde étude porte sur un modèle de réaction-diffusion non local, où nous étudions la stabilité d’un état stationnaire en fonction de l’intensité de la non-localité. Cette étude constitue une première étape vers l’analyse de la stabilité pour les systèmes de diffusion croisée. Nous proposons une approche assistée par ordinateur pour l’étude du spectre d’un opérateur à résolvante compacte, en utlisant un théorème de Gershgorin pour des matrices infinies. Nous analysons ensuite la dépendance de la première valeur propre par rapport au paramètre de non-localité afin de déterminer l’existence et l’unicité d’un seuil de stabilité.Enfin, une dernière étude sur des modèles non linéaires qui incluent les modèles de diffusion croisée, nous permet de proposer une méthodologie générale pour étudier l’existence et la stabilité des états stationnaires. Cette méthodologie s’inspire d’une analogie avec le théorème de stabilité de Lyapunov pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires. Nous construisons un opérateur auto-adjoint défini positif, dont les propriétés sont vérifiées par ordinateur, permettant ainsi d’obtenir une fonctionnelle de Lyapunov quadratique.