Arbres de partitions partielles : cadre unifié, modélisation topologique et opérateurs connexes

Ce manuscrit explore la théorie, la construction et l’application des hiérarchies morphologiques pour la modélisation et l’analyse d’images, en se concentrant sur les arbres de partitions partielles tels que les arbres de composantes et l’arbre des formes. Nous présentons un cadre unifié reliant les hiérarchies classiques et introduisons de nouvelles structures --- telles que l’arbre complet des formes et l’arbre topologique des formes --- qui offrent un continuum entre les arbres de composantes, l’arbre des formes et d’autres hiérarchies connues. Dans ce cadre, l’arbre topologique des formes émerge comme un nouveau descripteur topologique pour les images en niveaux de gris.Nous présentons des algorithmes efficaces pour la construction des arbres complets et topologiques des formes, garantissant un calcul efficace en espace et en temps.Nous proposons également un schéma général pour la construction d’opérateurs connectés cohérents à partir de l’arbre des formes, préservant les propriétés différentielles des images et l’équivalence entre les images et leurs hiérarchies. Enfin, nous exploitons l’arbre topologique des formes pour définir une nouvelle classe d’opérateurs connectés qui préservent la topologie des images tout en présentant des propriétés algébriques analogues aux ouvertures et fermetures. Ces contributions offrent à la fois un éclairage théorique et des outils pratiques pour utiliser les hiérarchies morphologiques comme un cadre robuste et respectueux de la structure pour la représentation, le traitement et l’analyse d’images.