Total Generalized Variation with Finite Elements for Imaging and Shape Optimization

Diese Arbeit beschäftigt sich mit variationellen Methoden für inverse Probleme, die mittels totaler Variation (TV) und totaler generalisierter Variation (TGV) regularisiert werden. Die meisten bestehenden Modelle und Implementierungen von TGV nutzen diskretisierungen auf kartesischen Gittern, sodass die Anwendbarkeit auf allgemeinere Geometrien stark einschränkt ist. Der erste Beitrag dieser Arbeit ist eine Formulierung der TGV für stückweise konstante Finite-Elemente-Funktionen auf triangulierten Gittern. In der ursprünglichen Form reduziert sich TGV in diesem Fall auf TV und bietet daher keinen Vorteil. Die entwickelte Formulierung überträgt das TGV-Konzept gezielt auf stückweise konstanter Finiter Elemente, wodurch der staircasing effect verhindert wird. Ein weiterer Teil dieser Arbeit behandelt geometrische inverse Probleme, bei denen die diskrete totale Variation des Normalenvektorfeldes einer triangulierten Oberfläche als Regularisierung dient. Im Mittelpunkt steht hier unter anderem ein numerisches Verfahren, das auf der alternating direction method of multipliers (ADMM) basiert, sowie eine diskrete Variante des Shape Calculus, mit dem Zweck die entstehenden nicht-glatten Optimierungsprobleme effizient zu lösen. Der dritte Beitrag dieser Arbeit erweitert die zuvor vorgestellte TGV für stückweise konstante Daten auf den Normalenvektorfelder triangulierter Gitter in 3D. Da Normalenvektoren auf der Einheitssphäre liegen – einer Mannigfaltigkeit und keinem euklidischen Raum – ist eine spezielle Behandlung notwendig. Hierzu wird eine neuartige Formulierung der diskreten totalen generalisierten Variation vorgeschlagen, die auf einem maßgeschneiderten Finite-Elemente-Raum basiert, der geeignet ist eine diskretisierung des pushforward-Operators des Normalenvektors darzustellen.