Processus Ponctuels de Temps de Retour pour des Systèmes Dynamiques Préservant une Mesure Finie ou Infinie

Cette thèse est consacrée à l’étude des propriétés statistiques des systèmes dynamiques à temps discret. Nous nous intéressons ici plus particulièrement aux statistiques des temps d’atteinte et de retour successifs dans des ensembles de l’espace des phases. Pour un ensemble cible fixé, le temps d’atteinte désigne le temps pour qu’une orbite générique entre dans cet ensemble et le temps de retour correspond à la première récurrence d’un point issu de l’ensemble vers ce même ensemble.Pour une mesure finie et ergodique, la théorie des statistiques de temps de retours et d'atteinte s’attache à étudier leurs fluctuations autour de la valeur moyenne, en particulier lorsqu’on considère une suite de cibles de mesure tendant vers zéro. Pour des systèmes suffisamment chaotiques et des cibles naturelles (typiquement des boules) centrées en des points génériques, il est connu que la distribution des retours successifs converge vers un processus ponctuel de Poisson. Ce comportement universel s’étend à tous les points non périodiques. En revanche, pour les points périodiques, on observe une convergence vers un processus de Poisson composé.Nous montrons que cette propriété est encore vérifiée pour nouveaux exemples de systèmes non-uniformément hyperboliques tels que la famille des fonctions logistiques avec des paramètres de Misiurewicz. Pour cela, nous nous appuyons principalement sur une méthode d'induction généralisée.L’axe principal de cette thèse est l’analyse de ces phénomènes dans le cadre de systèmes dynamiques préservant une mesure infinie. Dans ce contexte, les propriétés ergodiques diffèrent profondément de celles du cas fini, et les comportements limites observés sont distincts. Pour les systèmes ponctuellement dual-ergodiques, nous établissons l’équivalence des processus ponctuels de temps d’atteinte et de retour, mettant en évidence l’émergence du processus de Poisson fractionnaire, analogue naturel du processus de Poisson standard en mesure infinie. En exploitant cette équivalence abstraite entre temps d'atteinte et de retour d'événements rares, nous obtenons des résultats de convergence des processus ponctuels associés à des cibles naturelles se resserrant sur un point de l'espace des phases. Dans le cadre des applications intermittentes de l’intervalle, nous déterminons les lois limites pour tous les points. Au-delà des processus de Poisson fractionnaire, nous montrons la convergence vers des versions composées pour les points périodiques mais nous identifions une troisième classe de processus limites, inédite, propre à la mesure infinie et présentant des caractéristiques nouvelles.Pour la classe paradigmatique des décalages de Markov topologiques, incluant notamment les chaînes de Markov à espace d'états dénombrable, nous menons une étude analogue, et caractérisons en détail les différents types de processus ponctuels qui peuvent apparaître. En particulier, nous montrons que certains systèmes, comme les Z-extensions au dessus de décalages de Markov fortement récurrents positifs, ne font pas émerger cette nouvelle classe de processus limite pour des suites de boules emboitées et asymptotiquement rares.Enfin, nous abordons la question des lois limites pour les sommes de Birkhoff d’observables naturelles présentant une singularité. En utilisant des liens avec la théorie des valeurs extrêmes, nous relions cette problématique à celle des processus ponctuels d’événements rares spatio-temporels, que nous explorons ici pour la première fois en mesure infinie. Cela permet de généraliser la trichotomie précédemment observée et de dériver une généralisation de théorèmes limites stables fonctionnels dans le cadre de la mesure infinie. De plus, pour des suites de boules topologiques centrées et convergeant vers des points non typiques, nous montrons que les processus spatio-temporels peuvent converger vers des processus limites présentant des corrélations entre la composante spatiale et la composante temporelle.