Homogenization of boundary layers in fluid mechanics and applications.

Cette thèse porte sur l'analyse asymptotique des équations de Stokes. D'un point de vueplus large, elle s'intéresse à la théorie de l'homogénéisation et se concentre notamment surl'homogénéisation périodique des équations aux dérivées partielles (EDP). L'homogénéisationconstitue le cadre théorique permettant de relier les caractéristiques à petite échelle au com-portement à grande échelle. La théorie mathématique de l'homogénéisation se développedepuis les années 1970 et a bénéficié d'efforts considérables de la part de mathématiciens ta-lentueux. Aujourd'hui, c'est une théorie riche qui couvre plusieurs thématiques et questionsinhérentes aux EDPs. Ce progrès a nécessité, entre autres méthodes et outils, une théorie dela régularité prenant en compte une multitude d'échelles des variables, telle que la théorie dela régularité uniforme. Nous présentons une synthèse de la théorie de la régularité uniforme,qui est l'un des outils les plus importants pour le résultat principal de la thèse.Le cœur de la thèse porte sur les équations de Stokes à coefficients périodiques et à donnéesur le bord de Dirichlet périodique, posées sur le demi-espace {y ∈ R^d : y · n − s > 0} pourune normale arbitraire n ∈ S^d−1 et s ∈ R. Elle étudie plus particulièrement le comportementde la solution (vitesse) loin du bord. Elle fournit une preuve de la convergence de la vitessevers un champ vectoriel constant loin du bord, c'est-à-dire y · n → ∞. On présente aussiun développement asymptotique du noyau de Poisson pour l'opérateur de Stokes oscillantpériodiquement dans le demi-espace.Les résultats de cette thèse posent les bases pour l'homogénéisation quantitative des coucheslimites pour le système de Stokes dans des domaines uniformément convexes ou de type fini.