Bases de Gröbner dans les algèbres polyhédrales

Cette thèse étend la théorie des bases de Gröbner aux algèbres polyédriques, définies comme des anneaux de séries formelles soumis à des conditions de convergence dictées par un polyèdre. Ces structures se rencontrent naturellement en géométrie tropicale et en géométrie rigide analytique. Nous adaptons l’algorithme de Buchberger à ce cadre en introduisant des ordres de termes adaptés, des procédures de réduction généralisées et des décompositions prenant en compte la géométrie polyédrique sous-jacente. Ce travail soulève plusieurs défis, notamment l’absence d’ordre bien fondé dans les monoïdes de Laurent et la sous-multiplicativité des valuations. La théorie est développée progressivement sur des cas particuliers, avant d’être généralisée. Une implémentation dans SageMath illustre l’effectivité des algorithmes proposés.