Asymptotic self-similar behavior in coupled systems

Selbstähnliches Verhalten ist ein gut untersuchtes Phänomen in räumlich ausgedehnten Systemen. Der Großteil der Forschung hat sich jedoch auf skalare Probleme, die exakte selbstähnliche Lösungen besitzen, konzentriert, wie beispielsweise die Poröse-Medien-Gleichung. Des Weiteren werden Lösungen meist mit trivialem Verhalten im Unendlichen untersucht, insbesondere bei Betrachtung endlicher Masse oder Energie. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass Selbstähnlichkeit auch asymptotisch auftreten kann, wodurch eine qualitative Beschreibung des Langzeitverhaltens ermöglicht wird. Exemplarisch werden wir zwei Systeme untersuchen: Das erste ist ein gekoppeltes Reaktions-Diffusions-System, das das Massenwirkungsgesetz erfüllt. Das zweite enthält die eindimensionalen kompressiblen Euler-Gleichungen mit Dämpfung. Obwohl sich beide Systeme in vielerlei Hinsicht mathematisch unterscheiden, haben sie eines gemeinsam, nämlich ihr asymptotisch selbstähnliches Verhalten. Wir definieren beide Systeme auf dem Ganzraum und statten sie mit nichttrivialen Randdaten im Unendlichen aus. Damit besteht die Hauptaufgabe darin, die Schwierigkeiten des unbeschränkten Gebiets und der unendlichen Masse zu überwinden. Der entscheidende Schritt ist, Raum und Zeit in parabolische Skalierungsvariablen zu transformieren und Energie-Dissipationsabschätzungen für eine relative Entropie herzuleiten. Mit dieser Methode zeigen wir für beide Systeme, dass ihre Lösungen exponentiell zu Ähnlichkeitsprofilen konvergieren, wenn die skalierte Zeit gegen Unendlich geht. In den ursprünglichen Variablen entspricht dies einem asymptotisch selbstähnlichen Verhalten, das das Vermischen der unterschiedlichen Zustände im Unendlichen beschreibt.