On the non-uniqueness of transport equation: quantitative relationship between temporal and spatial regularity

In this paper, we prove the non-uniqueness of transport equation on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {T}^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\ge 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with density <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho element-of upper L Subscript t Superscript s Baseline upper L Subscript x Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho \in L^{s}_tL_x^{p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and divergence-free vector field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic u element-of upper L Subscript t Superscript s prime Baseline upper L Subscript x Superscript p prime intersection upper L Subscript t Superscript s overTilde Baseline upper W Subscript x Superscript 1 comma p overTilde"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol {u}\in L^{s’}_tL_x^{p’}\cap L^{\tilde {s}}_tW_x^{1,\tilde {p}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over p EndFraction plus StartFraction s overTilde prime Over s p overTilde EndFraction minus 1 greater-than StartFraction 1 Over d minus 1 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{p}+\frac {\tilde {s}’}{s\tilde {p}}-1&gt;\frac {1}{d-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s comma p comma p overTilde e