Ensemble ordonnés Calabi-Yau fractionnaires

Dans cette thèse nous étudions la propriété Calabi-Yau fractionnaire sur des treillis. Nous commençons par introduire des familles combinatoires de représentations de treillis qui ont de bonnes propriétés homologiques. Nous en déduisons un premier résultat qui généralise aux treillis join-semidistributifs un théorème de Iyama et Herschend sur la dimension global d'un treillis distributif. Ensuite nous montrons que la propriété Calabi-Yau fractionnaire peut être vérifiée sur des familles de représentations au bon comportement pour les treillis finis. De plus nous donnons un critère combinatoire pour calculer certains espaces de morphismes. Nous utilisons ces deux résultats pour montrer que la catégorie dérivée du treillis des idéaux du produit de deux chaines est Calabi-Yau fractionnaire. On établi de plus une équivalence dérivée entre ces treillis et les algèbres d'Auslander supérieures de type A et une autre avec leur dual quadratiques. Ces deux résultats corroborent une conjecture de Chapoton qui relie des ensembles ordonnés à des catégories de Fukaya-Seidel tout en donnant des isomorphismes d'algèbre entre des objets déjà connus. On décris les catégories en question avec des suites entrelacées.