Heat coefficients of surfaces with curved conical singularities

Abstract Let ( M , g ) be a two-dimensional Riemannian manifold of finite diameter with a conical singularity. Under the assumption that the metric near the cone point C is rotationally invariant, but not necessarily flat, we give an explicit formula for the coefficient $$b_{1/2}(C)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the heat trace expansion $$\operatorname {tr}(\operatorname {exp}(-t\Delta _g))\sim _{t\searrow 0} (4\pi t)^{-1}\sum _{j=0}^\infty a_j(M) t^j+\sum _{j=0}^\infty b_{j/2}(C)t^{j/2}+\sum _{j=0}^\infty c_{j/2}(C) t^{j/2} \log t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>tr</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>↘</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In the case that the Gaussian curvature K of ( M , g ) satisfies $$|K(p)|\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> as $$p\rightarrow C$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we show that $$b_{1/2}(C)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>b</mml: