First-order methods and gradient dynamical systems for multiobjective optimization

Diese Dissertation enthält Beiträge zum Bereich der Mehrzieloptimierung mit einem Fokus auf unbeschränkten Problemen, die auf einem allgemeinen Hilbertraum definiert sind. Für Mehrzieloptimierungsprobleme mit lokal Lipschitz-stetigen Zielfunktionen definieren wir ein multikriterielles Subdifferential, das wir erstmals im Kontext allgemeiner Hilberträume analysieren. Aufbauend auf diesen theoretischen Untersuchungen präsentieren wir ein Abstiegsverfahren, bei welchem in jeder Iteration eine Abstiegsrichtung mittels einer numerischen Approximation des multikriteriellen Subdifferentials bestimmt wird. Im Kontext konvexer, stetig differenzierbarer Zielfunktionen mit Lipschitz-stetigen Gradienten, führen wir eine Familie von dynamischen Gradientensystemen mit Trägheitsterm ein, die bekannte kontinuierliche Systeme aus der skalaren Optimierung verallgemeinern. Wir stellen drei neue Systeme vor: eines mit konstanter Dämpfung, eines mit asymptotisch abnehmender Dämpfung und eines, das zusätzlich eine zeitabhängige Tikhonov-Regularisierung beinhaltet. Aufbauend auf den Untersuchungen der neuen dynamischen Gradientensysteme, entwickeln wir ein beschleunigtes Gradientenverfahren zur Mehrzieloptimierung, das auf einer Diskretisierung des multikriteriellen Gradientensystems mit asymptotisch abnehmender Dämpfung beruht. Das hergeleitete Verfahren bewahrt die günstigen Konvergenzeigenschaften des kontinuierlichen Systems und erreicht eine schnellere Konvergenz als klassische Verfahren.