Méthodes analytiques et combinatoires dans les systèmes intégrables et la théorie des matrices aléatoires

La thèse porte sur l’étude des sys-tèmes intégrables classiques. On dit qu’un sys-tème est intégrable s’il possède une infinité de quantités conservées. Dans cette thèse, on étu-die différents systèmes intégrables issus des modèles de matrices aléatoires. Notre étude se concentre sur la fonction tau, qui carac-térise un système intégrable. Nous commen-çons par explorer deux types de systèmes in-tégrables discrets et continus, en utilisant diffé-rentes méthodes analytiques et combinatoires. Une fonction tau satisfait l’équation de Hirota, laquelle donne lieu à des équations différen-tielles partielles, comme l’équation KP ou KdV, par exemple. À partir de ces fonctions tau, on définit les corrélateurs associés à un système intégrable. La récurrence topologique permet d’obtenir le développement asymptotique de ces corrélateurs. Notre travail couvre plusieurs thématiques. L’approche utilisée repose sur le formalisme de Lax, que nous appliquons aux modèles de matrices aléatoires. Le but de cette thèse est d’étudier le développement WKB des corrélateurs associés à un système intégrable.