Matrix and tensor decomposition methods for joint blind source separation

Das Problem der gemeinsamen blinden Quellentrennung (Joint Blind Source Separation, JBSS), d. h. der gemeinsamen Schätzung verborgener Quellen aus mehreren beobachteten Datensätzen, ist von hoher Relevanz in vielen Fachdisziplinen, unter anderem in der Sprachverarbeitung und der biomedizinischen Signalverarbeitung. Beispielsweise können die in biomedizinischen Datensätzen gefundenen Quellen Biomarker für die Erkennung von Erkrankungen wie Schizophrenie liefern. Verschiedene Matrix- und Tensorzerlegungsmethoden sind entwickelt worden, um JBSS zu erzielen, d. h. unter der Annahme eines generativen Modells die wahren zugrunde liegenden Quellen bis auf Permutations- und Skalierungsmehrdeutigkeiten wiederherzustellen und die Quellen über Datensätze hinweg korrekt anzuordnen. Die Analyse unabhängiger Vektoren (Independent Vector Analysis, IVA), eine Erweiterung der sehr bekannten Analyse unabhängiger Komponenten (Independent Component Analysis, ICA) für mehrere Datensätze, erreicht JBSS durch Maximierung der Unabhängigkeit von Quellen innerhalb eines Datensatzes und Maximierung der Abhängigkeit von Quellen über Datensätze hinweg. Des Weiteren gibt es die Kanonische Korrelationsanalyse für mehrere Datensätze (multiset Canonical Correlation Analysis, mCCA), welche ursprünglich entwickelt wurde, um Variablen zu identifizieren, die über mehrere Datensätze hinweg maximal korreliert sind, sogenannte kanonische Variablen. Da die Korrelation von mehr als zwei kanonischen Variablen auf unterschiedliche Weise quantifiziert werden kann, wurden verschiedene mCCA-Optimierungsfunktionen vorgeschlagen. Die fünf bekanntesten sind sumcor, maxvar, minvar, genvar und ssqcor. Obwohl mCCA in seiner Formulierung kein generatives Modell festlegt, können wir durch die Annahme des JBSS-Modells untersuchen, unter welchen Bedingungen die von mCCA geschätzten kanonischen Variablen den wahren Quellen entsprechen. Die Bedingungen, unter denen eine Methode JBSS erzielen kann, werden allgemein als Quellenidentifikationsbedingungen bezeichnet. Unter der Annahme, dass das JBSS-Modell die zugrunde liegende Physik der Daten beschreiben kann, müssen die Quellenidentifikationsbedingungen einer JBSS-Methode erfüllt sein, um die geschätzten Quellen interpretieren zu können, d. h. ihnen eine physikalische Bedeutung zuordnen zu können. Daher ist es wichtig, diese Bedingungen zu kennen. Die Quellenidentifikationsbedingungen von IVA und mCCA-maxvar für JBSS wurden in der Literatur bereits hergeleitet. In dieser Arbeit erweitern wir den Stand der Literatur, indem wir die Quellenidentifikationsbedingungen von mCCA-sumcor herleiten und beweisen und theoretische Überlegungen zu den Bedingungen von mCCA-minvar, mCCA-genvar und mCCA-ssqcor diskutieren. Wir unterstützen die vorgestellten theoretischen Bedingungen mit numerischen Ergebnissen. Wir stellen außerdem die Zusammenhänge zwischen wichtigen Matrix- und Tensorzerlegungs-methoden für JBSS her. Die Kenntnis über die Zusammenhänge verschiedener Methoden und über ihre Quellenidentifikationsbedingungen trägt dazu bei, Klarheit darüber zu schaffen, welche Methoden für welche Anwendungen nützlich sein können. Noch wichtiger als die verborgenen Quellen zu identifizieren ist in einigen Anwendungen, beispielsweise der Präzisionsmedizin, die Beziehung zwischen verschiedenen (Matrix-)Datensätzen zu verstehen. Dies ist bei hochdimensionalen und verrauschten Datensätzen eine Herausforderung. Wir schlagen eine neuartige Methode zur Identifizierung der Beziehungsstruktur zwischen mehreren Datensätzen mithilfe von JBSS vor, die beschreibt, welche Untergruppen von Datensätzen ähnliche zugrunde liegende Quellen haben und wie diese Untergruppen zusammenhängen. Anschließend demonstrieren wir den Erfolg der vorgeschlagenen Methode in Simulationen. Abschließend verwenden wir JBSS-Methoden für die Analyse von realen funktionellen Magnetresonanztomographie (fMRT)-Daten und von funktionellen Ultraschall (fUS)-Daten. Wir zeigen, dass die JBSS-Methoden eine Datenfusion der fMRT-Daten durchführen und potenzielle Biomarker für Schizophrenie identifizieren können. Zudem identifiziert die vorgeschlagene Methode eine sinnvolle Beziehungsstruktur zwischen den fMRT-Datensätzen. Schließlich zeigen wir, dass JBSS-Methoden aktive Gehirnregionen in fUS-Daten identifizieren können, die ähnlich zu denen sind, die mit der als Goldstandard geltenden Analysemethode gefunden wurden, allerdings unter weniger strengen Annahmen.