Étude de certaines propriétés remarquables de quelques classes d’opérateurs linéaires sur les espaces de Banach : typicité des contractions positives et produits aléatoires d’opérateurs

Les motivations de cette thèse sont d'une part le Problème du Sous-espace Invariant, et d'autre part le comportement asymptotique des produits aléatoires de matrices.Nous nous intéressons, dans un premier temps, aux propriétés typiques des contractions positives sur un espace de Banach ayant une base de Schauder, notre but principal étant d'étudier si une contraction typique positive sur un tel espace de Banach possède un sous-espace invariant non trivial. Nous étudierons ce problème pour différentes topologies polonaises d'opérateurs.Dans un second temps, nous nous intéressons à la dynamique linéaire des produits aléatoires d'opérateurs de la formeT_n(ω) = T(τ^{n-1}(ω)) ... T(τ(ω)) T(ω).En d'autres termes, nous cherchons à étudier la dynamique linéaire de la suite (T_n(ω))_{n ≥ 1} pour presque tout ω dans le tore. Ces produits aléatoires dépendent d'une transformation ergodique τ sur le tore et d'une application fortement mesurable T(.) sur le tore, à valeurs opérateurs sur un espace de Fréchet séparable X.Il s'agit d'étudier l'influence de la transformation ergodique et des opérateurs T(ω) sur l'universalité de la suite (T_n(ω))_{n ≥ 1} pour presque tout ω. Nous étudierons principalement le cas où l'opérateur T(ω) est égal à un certain opérateur T_1 lorsque ω appartient à A_1, et égal à un certain opérateur T_2 lorsque ω appartient à A_2, où (A_1, A_2) est une partition mesurable non triviale de [0,1).