Groupoïdes de Garside et groupes de tresses complexes

Ce travail est séparé en deux parties principales. La première partie est centrée autour de thèmes généraux en théorie de Garside, tandis que la seconde étudie des applications de cette théorie dans l'étude des groupes de tresses complexes et de leurs sous-groupes paraboliques.Les sous-groupes paraboliques des groupes de tresses complexes ont été introduits récemment par González-Meneses et Marin, dans le but de généraliser des résultats connus pour le groupe de tresses usuel à cette plus grande famille de groupes. En particulier, ils ont obtenu des résultats généraux sur ces sous-groupes paraboliques dans tous les cas sauf celui du groupe de tresses exceptionnel B(G31). La particularité de ce groupe étant de n'avoir pas de structure de groupe de Garside connue, mais seulement une structure de groupoïde de Garside.Dans la première partie, nous introduisons en particulier le concept de banc de sous-groupoïdes paraboliques standards. Ce concept nous permet de montrer -sous des hypothèses convenables- que les sous-groupes paraboliques dans un groupoïde de Garside sont stables par intersection. Ceci généralise l'approche de González-Meneses et Marin dans le cas des groupes de Garside.Dans la seconde partie, on étudie les sous-groupes paraboliques des groupes de tresses complexes en utilisant exclusivement les monoïdes duaux et les structures qui en dérivent, ce qui inclut le groupoïde de Garside défini par Bessis afin d'étudier le groupe de tresses complexe B(G31). En utilisant ces structures, on obtient en particulier de nouvelles preuves de certains des résultats généraux de González-Meneses et Marin concernant les sous-groupes paraboliques des groupes bien-engendrés. On en déduit une description complète des sous-groupes paraboliques d'un centralisateur régulier dans un groupe de tresses complexe arbitraire.Ces résultats s'appliquent en particulier au groupe de tresses complexe B(G31). Nous étendons les résultats principaux de González-Meneses et Marin à ce cas, complétant ainsi la preuve de ces résultats pour tous les groupes de tresses complexes.Par ailleurs, nous introduisons une méthode générale pour calculer des présentations d'un groupe partant d'une présentation d'un groupoïde auquel il est équivalent. Nous appliquons cette méthode au groupoïde de Garside associé à B(G31) pour obtenir plusieurs présentations de ce groupe