Additions to a theorem of Morey-Ulrich

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R equals k left-bracket x 1 comma ellipsis comma x Subscript d Baseline right-bracket left-parenthesis d greater-than-or-equal-to 3 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R = k[x_1,\ldots , x_d] (d\geq 3)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote a standard graded polynomial ring over an algebraically closed field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I subset-of upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I \subset R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a perfect ideal of codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n times left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\times (n-1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> linear presentation matrix. We prove an extended formulation of a theorem of Morey and Ulrich in the case where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies condition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript d minus 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_{d-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , but not condition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript d"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .