Contrôle optimal de certaines classes de processus de rafle et applications

Cette thèse porte sur le contrôle optimal de systèmes dynamiques gouvernés par des processus de rafle de Moreau (sweeping processes), en mettant particulièrement l’accent sur les formulations implicites et explicites en considérant des ensembles polyédriques et convexes. Ces systèmes, caractérisés par des inclusions différentielles fortement non régulières avec des contraintes dépendantes de l’état ou du contrôle, apparaissent naturellement dans des modèles d’élasto-plasticité, d’hystérésis et de mécanique du contact. La difficulté principale dans le contrôle de tels systèmes réside dans le caractère discontinu de l’opérateur de cône normal, ce qui empêche l’application directe des outils classiques du contrôle optimal.Nous commençons par établir un principe du maximum de type Pontryagin pour une classe de problèmes de contrôle optimal gouvernés par des processus de rafle implicites avec des contraintes terminales générales. L’ensemble balayé est supposé polyédrique et dépendant du contrôle, et la dynamique fait intervenir à la fois l’état et le contrôle dans l’inclusion différentielle ainsi que dans le terme de la perturbation. L’analyse repose sur des estimations précises de la codérivée de l’application projection sur des ensembles convexes et/ou polyédriques. Des applications sont données, notamment aux inégalités variationnelles et aux systèmes dynamiques projetés, tels que les modèles de Lotka–Volterra généralisés.Dans ce cadre, nous menons une étude détaillée sur le calcul de la codérivée de l’opérateur de projection. Nous présentons de nouvelles estimations pour les codérivées de Dini et de Mordukhovich de cette application de projection, en nous concentrant sur deux classes importantes d’ensembles convexes : ceux à frontière strictement différentiable au sens de Hadamard, et les ensembles polyédriques. Ces résultats sont essentiels pour traiter la structure non régulière des processus de rafle de Moreau et constituent un élément central dans la dérivation des conditions nécessaires d’optimalité.Nous proposons ensuite un schéma d’approximation original pour la résolution de problèmes de contrôle optimal gouvernés par des processus de Moreau explicites, qui sont plus complexes en raison de leur non régularité intrinsèque. En introduisant une famille de rafle de Moreau implicites, nous régularisons le système de manière à permettre l’application des techniques classiques du principe du maximum. Nous établissons des résultats de convergence et validons notre approche à travers une application au contrôle optimal d’un oscillateur élasto-plastique à un degré de liberté, un modèle de référence en mécanique des structures et en ingénierie sismique.Dans l’ensemble, cette dissertation propose un cadre théorique et méthodologique unifié pour le contrôle optimal des processus de rafle de Moreau, apportant des contributions nouvelles à l’analyse non lisse, aux inégalités variationnelles et à la théorie du contrôle.