Bialgebraic geometry and fundamental groups of quasi-projective varieties

Diese Dissertation präsentiert neue Ergebnisse bezüglich Kollár-Pardon und seiner Verallgemeinerungen sowie Fundamentalgruppen glatter komplexer quasi-projektiver Varietäten. Wir beweisen ein Analogon der Kollár-Pardon-Vermutung für kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen nämlich, dass wenn die universelle Überlagerung einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit eine definierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit in einer o-minimalen Struktur ist, sie eine definierbare Faserung über einer kompakten einfach zusammenhängenden Basis mit glatten Fasern zulässt, die lokal symmetrisch sind. Sie ist außerdem Riemann-homogen, falls zusammenziehbar. Wir leiten die Kollár-Pardon-Vermutung für glatte komplexe projektive Varietäten ab, die eine bidefinierbare Kähler-Metrik zulassen. Wir untersuchen die Fundamentalgruppen komplexer normaler quasi-projektiver Varietäten, deren universelle Überlagerung biholomorph zur Analytifizierung einer algebraischen Varietät ist. Wir zeigen, dass jede lineare Darstellung einer solchen Gruppe über einem Körper ein virtuell nilpotentes Bild hat. Ihr Bild ist außerdem virtuell abelsch, falls die Albanese-Abbildung eigentlich ist. Wir untersuchen die BNS-Mengen der Fundamentalgruppen glatter komplexer quasi-projektiver Varietäten. Wir verallgemeinern Delzants Theorem über BNS-Klassen von Kähler-Gruppen auf den Fall von Fundamentalgruppen glatter quasi-projektiver Varietäten. Damit zeigen wir, dass wenn eine solche Gruppe virtuell auflösbar ist, sie virtuell nilpotent ist. Wir geben Anwendungen dieser Ergebnisse auf die Topologie von h-speziellen und Campana-speziellen quasi-projektiven Varietäten und Succius tropische Schranke für Hyperebenenarrangements.