Combinatoire des groupes de cactus, sous-groupes remarquables et généralisations

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des groupes de cactus, de certains de leurs sous-groupes et de leurs extensions. Les groupes de cactus ont été introduits par Devadoss sous le nom de `quasi-tresses' et sont reliés aux catégories de cobordisme et aux espaces de modules. Par ailleurs, leurs similitudes avec les groupes de tresses et les groupes de Coxeter ont mené à l'étude de familles de groupes généralisant les groupes de cactus. Nous étudions donc les propriétés combinatoires des groupes de cactus, tel que l'existence d'une solution au problème du mot, d'éléments centraux ou d'éléments possédant de la torsion. Par ailleurs, nous nous intéresserons à certains sous-groupes remarquables, tel que les groupes de cactus purs, pour lesquels nous étudions des questions similaires à celles posées pour les groupes de cactus. De plus, nous donnons une nouvelle présentation des groupes de cactus, ce qui nous permet de construire certains quotients remarquables, ainsi que de calculer les quotients de la série centrale descendante des groupes de cactus. Enfin, nous nous intéressons aux propriétés combinatoires d'une extension des groupes de cactus, nommée groupe de cactus affine, pour lesquels nous étudions des questions similaires à celles posées pour les groupes de cactus.