Affine logarithmic inequalities and Minkowski problems related to fractional perimeters

Für eine beschränkte Borelsche Menge E im R^n und s aus (0,1) wird der fraktionale s-Perimeter untersucht, was als ein Spezialfall des Sehnenpotenzintegrals aufgefasst werden kann. Diese Arbeit behandelt Minkowski-Probleme und affine funktionale Ungleichungen im Zusammenhang mit fraktionalen Perimetern. Für eine funktionale Erweiterung des Sehnenpotenzintegrals haben Haddad und Ludwig die affinen Hardy-Littlewood-Sobolev-(HLS-)Ungleichungen gezeigt haben. In dieser Arbeit werden die Grenzfälle der affinen HLS-Ungleichungen untersucht: Dabei konnte einerseits die affine logarithmische HLS-Ungleichung und andererseits eine Beckner-artige affine logarithmische Sobolev-Ungleichung hergeleitet werden. Darüber hinaus werden Variationsformeln für anisotrope fraktionale Perimeter aufgestellt, die zu einer neuen Familie geometrischer Maße führen. Deren Grenzverhalten wird analysiert und das entsprechende Minkowski-Problem gelöst. Insbesondere wird eine notwendige Bedingung für die Konvexität von Optimierern in der anisotropen fraktionalen isoperimetrischen Ungleichung bewiesen.