Least-squares collocation for DAEs and its application in optimal control

Diese Dissertation beschäftigt sich mit nichtlinearen differential-algebraischen Gleichungen (DAEs) mit nichtlinearem Ableitungsterm. Wir erweitern zwei wichtige Aspekte der Theorie und Anwendung von DAEs mit linearen Ableitungstermen auf DAEs mit nichtlinearen Ableitungstermen. Der erste Aspekt betrifft den Kleinste-Quadrate-Kollokationsansatz, der zur Lösung von DAE-Randwertproblemen (DAE-BVPs) verwendet wird. Es ist bekannt, dass diese Methode für DAEs mit höherem Index und einem linearen Ableitungsterm konvergiert. Wir erweitern diesen Ansatz auf DAE-BVPs mit nichtlinearen Ableitungstermen, indem wir das DAE-BVP in ein vergrößertes System umformulieren. Wir zeigen, dass diese Umformulierung die erforderlichen Eigenschaften des ursprünglichen Problems beibehält und beweisen Konvergenz mittels des ursprünglichen Resultats. Der zweite Aspekt behandelt Optimalsteuerungsprobleme mit DAE-Einschränkungen. Denselben Ansatz einer Umformulierung in das vergrößerte System nutzend, erweitern wir ein bestehendes adjungiertenbasiertes notwendiges Optimalitätskriterium, das für DAEs mit linearen Ableitungstermen entwickelt wurde, um auch DAEs mit nichtlinearen Ableitungstermen als DAE-Einschränkung behandeln zu können. Um das zu erreichen, ist ein signifikanter Anteil der Dissertation auf die Zusammenstellung der notwendigen theoretischen Grundlagen für lineare und nichtlineare DAEs und DAE-BVPs, ihrer Eigenschaften und Lösungen, verwendet. Eine DAE-basierte Gasnetzwerkformulierung wird eingeführt, um als praxisnahe Testinstanz zu dienen. Die Ergebnisse werden durch eine Diskussion wichtiger Aspekte unserer Referenzimplementierung der Kleinste-Quadrate-Kollokationsmethode und numerischer Experimente ergänzt, welche sowohl Simulations- als auch Optimierungsprobleme an akademischen und praktischen Daten zeigen. Insbesondere wird die DAE-basierte Gasnetzwerkformulierung als Simulations- und Optimierungsbeispiel verwendet, um die Relevanz der Ergebnisse zu demonstrieren.