Dirac Operators on Orbifold Resolutions and their Applications to the Construction of Exceptional Holonomy Metrics

Die Dissertation untersucht Dirac-Operatoren auf Riemannschen Orbifaltigkeiten und deren Auflösungen zur Konstruktion von Metriken mit außergewöhnlicher Holonomie, insbesondere Spin(7). Singularitäten treten oft am Rand von Modulräumen auf, daher wird ein analytischer Rahmen für Dirac-Operatoren entwickelt, die zu Orbifaltstrukturen entarten. Orbifaltigkeiten werden als stratifizierte Räume mit Strata modelliert auf konischen Faserungen (CF) betrachtet. Diese konisch gefassten singulären Räume werden durch asymptotisch konisch gefaserte (ACF) Räume aufgelöst. Dirac-Operatoren werden auf gewichteten Räumen analysiert, was eine uniforme elliptische Fredholm-Theorie ermöglicht. Eine lineare Theorie wird mit mikrolokalen Methoden und adiabatischer Limites entwickelt. Eine Klebekonstruktion interpoliert zwischen lokalen Modellen nahe der Strata und globalen Daten. Indizielles Spektrum und kritische Gewichte liefern approximative Kerne, exakte Klebesequenzen und Rechtsinversen im unobstruierten Fall. Die Methoden werden auf Spin(7)-Orbifaltigkeiten angewendet. Ausgehend von torsionsfreien Spin(7)-Strukturen werden glatte Auflösungen durch Einkleben von ACF-Räumen in Strata konstruiert. Diese Familien entstehen aus harmonischen Schnitten von Parameterbündeln und lassen sich als Untermannigfaltigkeiten eines universellen Modulbündels deuten. Die Strukturen konvergieren in der Gromov–Hausdorff-Topologie zur Orbifaltigkeit und besitzen kleine Torsion. Unter geeigneten Bedingungen lassen sie sich durch Lösung einer nichtlinearen PDE zu torsionsfreien Spin(7)-Strukturen deformieren. So ergibt sich ein Existenzaussatz für Spin(7)-Strukturen auf einer großen Klasse von Auflösungen, verallgemeinert Joyces Konstruktionen und liefert neue kompakte Beispiele. Die Arbeit verbindet Analyse auf entartenden Familien mit Geometrie spezieller Holonomie und eröffnet Perspektiven für Modulräume.