Various bijections between maps and tree-like structures

Diese Arbeit befasst sich mit Bijektionen zwischen planaren maps und baumartigen Strukturen, ein essentielles Konzept der modernen Kombinatorik mit Verbindungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und zur statistischen Physik. Seit Tuttes bahnbrechenden Arbeitenzur Enumeration planarer Maps wurden von verschiedenen Autoren zahlreiche bijektive Methoden entwickelt. In dieser Arbeit werden diese Ansätze gesammelt und präsentiert, mitdem Ziel, ihre gemeinsamen Prinzipien und charakteristischen Unterschiede hervorzuheben.Zu diesem Zweck führen wir einheitliche Notationen ein und unterscheiden zwei Hauptkategorien von Bijektionen: (A) Blossoming-Tree-Bijektionen, bei denen Karten durch de-korierte Spannbäume codiert werden, und (B) Nicht-Spannbaum-Bijektionen, bei denen alternative Strukturen wie well-labeled Bäume oder Mobiles verwendet werden. Für jede Kategorie beschreiben wir ein vereinheitlichtes Schema, das die Essenz der bijektiven Konstruktionen erfasst und aufzeigt, wie verschiedene Resultate in dieses Gesamtbild passen.Anwendungen dieser Bijektionen zur Enumeration werden anschließend im Detail diskutiert. Zunächst betrachten wir klassische Resultate wie die Enumeration gewurzelter Eulerscher Maps und Quadrangulierungen, die bereits mit anderen Methoden hergeleitet wurden.Die Bijektionen liefern dabei nicht nur bekannte Abzählformeln, sondern ermöglichen auch ein tieferes konzeptionelles Verständnis der speziellen Struktur dieser Formeln. Abschließend gehen wir kurz auf geometrische Aspekte ein, insbesondere darauf, wie Bijektionen wie die Korrespondenz von Cori–Vauquelin–Schaeffer als Ausgangspunkt für die Analyse von Abständen in zufälligen planaren Maps und für Resultate zu Skalierungs-Limits dienen, die zur sogenannten Brown’schen Map konvergieren. Anstelle vollständiger Beweise dieser probabilistischen Resultate liegt der Fokus der Arbeit auf dem kombinatorischen Hintergrund, der notwendig ist, um zu verstehen, wie bijektive Methoden das Studium der Zufallsgeometrie unterstützen.