On square-in-time integrability of the maximum norm of a finite energy solution to the planar Navier–Stokes equations

The paper is devoted to the Navier–Stokes equations in a planar smooth bounded domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under the no-slip boundary condition with initial velocity <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of finite kinetic energy, i.e., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0 element-of upper L squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_0\in L^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The existence is proved for a unique weak solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of upper L squared left-parenthesis 0 comma upper T semicolon upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u\in L^2\left (0,T;L^\infty (\Omega )\right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying the estimate <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper L squared left-parenthesis 0 comma upper T semicolon upper L Sub Superscript normal infinity Subscript left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis right-parenthesis Baseline less-than-or-equal-to c left-parenthesis 1 plus double-vertical-bar u 0 double-vertical-bar Subscript upper L squared Baseline right-parenthesis double-vertical-bar u 0 double-vertical-bar Subscript upper L squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \|u\|_{L^2\left (0,T;L^\infty (\Omega )\right )} \leq c \left (1+\|u_0\|_{L^2}\right ) \|u_0\|_{L^2} \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> with some constant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c"> <mml:semantics>