Ηοmοgénéisatiοn de prοblémes d’évοlutiοn dans des dοmaines à frοntiéres fοrtement οscillantes et avec des dοnnées peu réguliéres

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème d’homogénéisation de la brosse (ou « brushproblem »). La question est d’étudier le comportement asymptotique d’une EDP (elliptique ouparabolique) dans un domaine présentant une structure de type brosse en dimension trois, oude type peigne en dimension deux, c’est-à-dire un ouvert constitué de dents cylindriques verti-cales réparties régulièrement au-dessus d’une base fixe. En particulier, on cherche à déterminerle problème limite, également appelé problème homogénéisé, et à démontrer des résultats deconvergence vers la solution limite.Le travail est divisé en deux parties : une première partie est consacrée à une classe deproblèmes elliptiques non linéaires, et une deuxième partie consacrée à une classe de problèmesparaboliques linéaires. Le point commun et l’originalité résident dans la géométrie fortementoscillante, non nécessairement périodique, et dans le fait que le second membre est uniquementsupposé appartenir à L1. Considérer une équation elliptique ou parabolique avec un secondmembre dans L1nécessite un cadre fonctionnel adapté. Dans cette thèse, nous utilisons etdéveloppons la notion de solution rénormalisée.Dans le premier chapitre, nous établissons l’existence de solutions lorsque le second membreappartient à L1, en utilisant le cadre des solutions rénormalisées. Cette approche est nécessaireen raison du manque de régularité des données, qui empêche l’utilisation des notions classiquesde solution. Dans le second chapitre, nous étudions l’homogénéisation du même problème el-liptique non linéaire avec données dans L1. Nous analysons le comportement asymptotique etprouvons que la solution rénormalisée du problème converge (dans un sens approprié) vers lasolution rénormalisée du problème homogénéisé. Les principales difficultés proviennent du ca-ractère non linéaire de l’équation, de la faible régularité des solutions due aux données dans L1,ainsi que de la nature fortement oscillante de la frontière du domaine.La deuxième partie de la thèse est dédiée à l’étude d’un problème parabolique linéaire,toujours avec des données dans L1. La première étape, objet du chapitre 3, consiste à définirune notion de solution rénormalisée pour un problème parabolique linéaire de transmissiondégénéré, et à démontrer des résultats d’existence, d’unicité et de stabilité. Par rapport auchapitre 2 et à la littérature sur le sujet, le caractère dégénéré de l’opérateur et la présencede la dérivée en temps compliquent notablement le problème. Grâce à ces résultats, nous nousintéressons dans le chapitre 4 à l’homogénéisation de l’équation parabolique linéaire. Commedans le cas elliptique, nous analysons le comportement asymptotique de la solution associée àun domaine dont la frontière est fortement oscillante. Nous identifions le problème homogénéiséet prouvons la convergence, en mettant en évidence l’interaction délicate entre la dépendanceen temps, la faible régularité des données et la structure oscillante de la frontiére du domaine.