Propriétés dynamiques et modèle-théoriques de certains systèmes de treillis de Banach

Le premier objectif de cette thèse est d’étudier la théorie Tσ des treillis de Banach Lp avec un automorphisme distingué, dans le cadre de la logique continue. Notre outil principal est une version fonctionnelle d’un résultat classique en théorie ergodique, le lemme de Rokhlin. Nous montrons que cette propriété caractérise les modèles existentiellement clos de Tσ, démontrant ainsi que cette théorie Tσ possède une modèle compagne TA. De plus, nous prouvons que la théorie TA est stable et qu’elle admet l’élimination des quantificateurs. Nous étudions ensuite les propriétés dynamiques et topologiques des types de TA, et nous montrons que le seul type où les topologies logique et métrique coïncident est le type trivial. Comme corollaire de cela, nous prouvons que dans le groupe polonais des transformations non-singulières d’un espace de probabilité standard, toute classe de conjugaison est maigre. Une généralisation du lemme de Rokhlin au cas des actions libres de groupes moyennables sur un espace de probabilité par des transformations préservant la mesure a été prouvée par Ornstein et Weiss, qui ont également suggéré que cela pouvait être prolongé au cas des transformations non singulières. Nous donnons une formulation précise et une preuve pour une telle généralisation, que nous utilisons ensuite pour montrer que la théorie continue des actions de groupes moyennables sur les treillis de Banach Lp par automorphismes de treillis normés admet une modèle compagne stable qui élimine les quantificateurs.