Thèmes d'Analyse : sous-espaces invariants et approximation dans les espaces de fonctions holomorphes

Cette thèse explore deux problèmes indépendants liés aux espaces de fonctions holomorphes et à leurs propriétés.Dans la première partie de la thèse, l'objet principal d'étude est l'opérateur de décalage M_z, défini sur l'espace de Bloch et le petit espace de Bloch, dont on examine le treillis des sous-espaces invariants associés. Nous construisons des sous-espaces fermés invariants par décalage dans l'espace de Bloch pouvant présenter un indice arbitrairement grand, y compris infini dénombrable. L'analyse se poursuit ensuite sur le petit espace de Bloch, où nous fournissons une construction de sous-espaces fermés invariants par décalage d'indice arbitrairement grand, incluant également le cas infini dénombrable. Par ailleurs, la non-séparabilité de l'espace de Bloch permet de construire un sous-espace invariant dont l'indice égale la cardinalité de l'intervalle unité [0,1]. Enfin, nous établissons plusieurs résultats concernant l'indice pour la topologie faible-étoile d'un espace de Banach et démontrons un théorème de stabilité de l'indice lors du passage des sous-espaces invariants (fermés en norme) d'un espace de Banach à leur adhérence faible-étoile dans son bidual. Ce résultat est ensuite appliqué pour prouver l'existence, dans l'espace de Bloch, de sous-espaces invariants faible-étoile fermés d'indice arbitraire. Dans la deuxième partie de la thèse, l'attention se porte sur un problème de minimisation impliquant des fractions partielles. Le cadre est celui des espaces de Bergman pondérés standards A^2_{alpha}(mathbb{D}), sur lesquels on étudie l'ensemble SF^N(mathbb{T}) des fractions partielles simples de degré N, à pôles situés sur le cercle unité. Dans un premier temps, la relation entre les fractions partielles d'ordre N et un théorème classique de Korevaar est examinée. Ce théorème établit un lien entre les propriétés d'approximation des fractions partielles (sous contrainte de localisation de leurs pôles) et celles des polynômes (sous contrainte de localisation de leurs zéros). Par ailleurs, nous nous inspirons d'une ancienne conjecture de Chui. Il est démontré que, sous certaines conditions, les fractions partielles simples d'ordre N à n pôles sur le cercle unité atteignent une norme minimale si et seulement si ces pôles sont équidistribués sur le cercle. Nous montrons également que ce résultat cesse d'être vrai en l'absence de ces conditions, mettant ainsi en évidence un phénomène nouveau et intéressant. Des asymptotiques précises pour les normes sont ensuite calculées. Enfin, nous étudions l'adhérence des fractions partielles d'ordre N dans les espaces de Bergman pondérés standards