Spectral Resolution of the Birch and Swinnerton–Dyer Conjecture: Unconditional Proof in Rank 0 and 1, Complete Reduction in Higher Rank

We prove the Birch–Swinnerton–Dyer formula unconditionally for elliptic curves of analytic rank 0 and 1 and reduce the general rank case to two explicit, verifiable conditions: (dR) local $p$-adic Hodge landing and (PT) spectral–Poitou–Tate pairing.The central innovation is a finite-level adèlic spectral operator identitydet⁡(I−ME(s))=c(s)L(E,s),c(1)≠0,\det(I - M_E(s)) = c(s) L(E,s), \quad c(1)\neq 0,det(I−ME(s))=c(s)L(E,s),c(1)=0,which captures the analytic rank as $\dim \ker M_E(1)$.This establishes the long-sought equivalence between analytic and arithmetic rank and transforms BSD into a finite research program, fully accessible to modern arithmetic geometry. Este trabajo establece un marco espectral-adelante riguroso para la función L de Hasse-Weil de una curva elíptica E/QE/Q. Construimos un operador de rango finito ME(s)ME(s) cuyo determinante de Fredholm satisface det⁡(I−ME(s))=c(s)L(E,s),det(I−ME(s))=c(s)L(E,s), donde c(s)c(s) es holomorfo y no se anula en s=1s=1. Esto captura el rango analítico como dim⁡ker⁡ME(1)dimkerME(1). Demostramos la compatibilidad con la fórmula Birch-Swinnerton-Dyer (BSD) para rangos 0 y 1 de manera incondicional, y reducimos el caso de rango ≥2≥2 a dos condiciones explícitas: compatibilidad local de de Rham (dR) y emparejamiento espectral de Poitou-Tate (PT). Validamos numéricamente nuestros resultados con una amplia muestra de LMFDB y proporcionamos un repositorio público con implementaciones computacionales. José Manuel Mota Burruezo