Application des algèbres amassées à quelques problèmes en théories des représentations et géométrie

Les algèbres amassées supérieures sont une classe d’algèbres commutatives de nature géométrique et combinatoire qui, depuis leur définition au début des années 2000, ont trouvé des applications dans de nombreux domaines des mathématiques et ont été l’une des forces motrices de la recherche. Dans cette thèse, nous identifions une classe de schémas que nous appelons des schémas adaptés au relèvement. Nous développons une technique d’homogénéisation, appelée relèvement monomial minimal, qui permet de construire une algèbre amassée supérieure en tant que sous-algèbre de l’anneau des fonctions régulières d’un schéma adapté au relèvement. Dans de nombreux cas intéressants, l’anneau des fonctions régulières du schéma adapté au relèvement est en fait égal à la sous-algèbre amassée supérieure construite de cette manière. Nous utilisons cette construction pour étudier certaines algèbres bien connues au moyen de la théorie des algèbres amassées. Nous traitons principalement deux types d’algèbres : les algèbres de branchement et les anneaux de Cox. Étant donné un sous-groupe réductif H du groupe réductif complexe G, l’algèbre de branchement de la paire (G, H) est une algèbre graduée qui encode l’information sur la décomposition des représentations irréductibles de G sous l’action de H. Nous expliquons comment notre approche pourrait conduire à la construction de modèles polyédraux pour les multiplicités de branchement, grâce aux algèbres amassées, et nous réalisons ce résultat dans le cas de la décomposition du produit tensoriel des groupes algébriques semi-simples simplement connexes. L’anneau de Cox d’une variété algébrique complexe Z est une algèbre graduée dont les composants homogènes peuvent être considérés comme les sections globales des fibrés en droites sur Z, et qui contient beaucoup d’information sur la géométrie de Z. Nous identifions certaines structures d’algèbre amassée sur les anneaux de Cox de certaines variétés algébriques grâce au relèvement monomial minimal. Dans le contexte des variétés de drapeaux partiels des groupes réductifs, nous expliquons que nos résultats donnent une interprétation géométrique d’une construction bien connue de Geiss, Leclerc et Schöer. Une partie importante de cette thèse est consacrée à l’étude des paires sphériques de rang minimal. Nous détaillons notre approche du problème de branchement pour ces paires au moyen des algèbres amassées. Nous observons des phénomènes intéressants et inédits. De plus, pour toute paire sphérique de rang minimal, nous construisons une classe de fonctions appelées mineurs sphériques généralisés, qui étendent ceux de Fomin-Zelevinsky. Nous prouvons que les mineurs sphériques généralisés satisfont une classe de relations polynomiales à coefficients entiers, qui ont la forme de relations d’échange des LP-algèbres, et qui ressemblent aux identités déterminantales de Fomin-Zelevinsky. Ces dernières relations sont à la base de toutes les structures d’algèbre amassée connues sur les variétés liées aux groupes algébriques.