Parallélisation en temps et Machine Learning pour le contrôle optimal et les problèmes inverses

Les algorithmes parallèles en temps (PinT) comme Parareal, ParaExp, etc., sont bien connus dans la littérature pour leur capacité à exploiter l'architecture parallèle des ordinateurs actuels pour résoudre des problèmes à valeurs initiales dépendant du temps. Récemment, ParaOpt, un algorithme reprenant les principes de l'algorithme Parareal, a permis de paralléliser la résolution de systèmes d'optimalité. Une première analyse de la convergence de cet algorithme a été présentée dans [M.J.~Gander, F.~Kwok et J.~Salomon, SIAM J.~Sci.~Comput., 42 (2020), A2773--A2802] dans le cas restreint de la méthode de Euler implicite pour les problèmes de contrôle optimal quadratique linéaire (LQOCP) portant sur des systèmes dissipatifs. Dans cette thèse, nous présentons dans un premier temps une analyse de convergence lorsque le système étudié est instable. Dans un second temps, nous nous concentrons sur l'influence du solver utilisé pour la résolution en temps sur la convergence en considérant le cas plus général d'une discrétisation de LQOCP par méthodes de Runge-Kutta. Nous montrons que le taux de convergence de ParaOpt a le même ordre que la méthode d'intégration en temps de Runge-Kutta utilisée, à condition que la méthode Runge-Kutta satisfasse quelques conditions d'ordre supplémentaires. Nous considérons ensuite un problème de préconditionnement, pour lequel nous introduisons un nouvel algorithme PinT, basé cette fois sur l'algorithme ParaExp, pour aborder LQOCP. Notre approche repose sur une décomposition de l'intervalle en temps avec chevauchement dans laquelle nous combinons la solution des sous-problèmes homogènes des systèmes d'optimalité utilisant la propagation exponentielle avec des solutions locales des sous-problèmes inhomogènes. La formulation conduit à un système linéaire dont le produit matrice-vecteur peut être entièrement calculé en parallèle. Nous proposons ensuite deux préconditionneurs pour accélérer la convergence de GMRES dans les cas particuliers des équations de la chaleur et des ondes. Dans un dernier chapitre indépendant, nous analysons une méthode de correction de modèle par apprentissage. L'approche étudiée reprend les principes d'Aphynity [Yuan Yin et al J. Stat. Mech. (2021) 124012], une méthode consistant à introduire un terme correctif prenant la forme d'un réseau de neurones dans l'EDP considérée. L'apprentissage est alors réalisé en boucle externe du solver utilisé, si bien que l'entraînement se déroule indirectement à travers un schéma en temps. Nous étudions l'influence du solver sur le réseau obtenu et montrons en particulier que l'ordre d'approximation du modèle corrigé est égal à l'ordre du schéma utilisé. Enfin, nous montrons comment une stratégie d'accélération de type Richardson permet d'accélérer la convergence en considérant deux réseaux plus petits et entraînés indépendamment avec des pas de temps différents.