Décompositon rapide, estimation de rang et borne de performance pour modélisation tensorielle

De nombreuses situations nécessitent que les données soient représentées sous forme de tableaux multidimensionnels appelés tenseurs, ce qui rend essentiel de prendre en compte cette structure lors de l'analyse des données. La malédiction de la dimensionnalité, caractérisée par l'augmentation exponentielle des demandes en matière de traitement et de stockage associées aux tenseurs de haut ordre, représente un défi significatif dans la science contemporaine. En conséquence, les factorisations de tenseurs jouent un rôle vital dans l'atténuation de la complexité du stockage des tenseurs tout en préservant leur nature multidimensionnelle. La décomposition Polyadique Canonique (CP) est la méthode de décomposition de tenseurs la plus largement utilisée, car elle permet de représenter les tenseurs en termes de composants interprétables. Cependant, un inconvénient majeur de cette approche est la difficulté de déterminer avec précision le nombre exact de composants, c'est-à-dire tenseurs de rang un, au sein du modèle. Pour atténuer ce problème, nous présentons une procédure de validation pour le rang canonique d'un tenseur. Cette procédure s'appuie sur les diverses réarrangement en matrices dans la TT-(H)SVD comme information complémentaire pour la validation. Nous démontrons que toutes les matrices de réarrangement calculées dans le TT-(H)SVD sont de rang [dollar]R[dollar], où [dollar]R[dollar] représente le rang canonique du tenseur original. Nous appliquons et évaluons cette méthode dans le cadre du problème de récupération des harmoniques multidimensionnelles (MHR).Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur l'estimation de la décomposition Tucker et proposons un nouvel algorithme rapide et robuste. Tout d'abord, nous reformulons la relation entre les décompositions Tucker et Tensor Train, en mettant en évidence le format CP contraint des TT-cores. En tirant parti de cette nouvelle connexion, nous introduisons un algorithme similaire à JIRAFE, que nous appelons TRIDENT. Cet algorithme estime simultanément les facteurs CP et les matrices de changement de base pour un seul TT-core, puis propage les matrices partagées pour faciliter l'estimation des TT-cores adjacents.Enfin, nous considérons un modèle MultiHarmonic couplé, appelé Modèle d'Harmoniques Multicanaux et Multidimensionnels (MMH), que nous formalisons. Nous dérivons ensuite la Limite de Cramér-Rao Contraint (CCRB) associée à ce nouveau modèle. De plus, nous réalisons une analyse approfondie du comportement des bornes de performance à mesure que le nombre de canaux augmente.