Dynamiques hors d'équilibres et temps de premier passage des processus stochastiques : du mouvement brownien aux particules actives

Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques pour étudier des processus stochastiques hors d'équilibre, dont le bruit est coloré, c'est-à-dire un bruit avec des corrélations temporelles. Ces processus non-markoviens sont plus difficiles à analyser que ceux avec un bruit blanc, comme le mouvement brownien. Nous nous concentrons principalement sur les systèmes de particules actives, en particulier la particule “run-and-tumble” soumise à une force arbitraire. Nous obtenons des expressions exactes pour son temps moyen de premier passage et sa probabilité de sortie d'un intervalle, en utilisant l'équation de Fokker-Planck. En particulier, nous montrons que le temps moyen de premier passage peut être optimisé en fonction de la fréquence des “tumbles”. Nous étudions aussi des modèles de réinitialisation stochastique et de diffusion avec changement d'état. Pour ces derniers — qui sont des exemples de « diffusions Browniennes mais non gaussiennes » — nous utilisons une approche par renouvellement et la théorie des grandes déviations pour obtenir des résultats exacts sur plusieurs observables : la distribution de position de la particule, ses moments, mais aussi ses cumulants, qui permettent de caractériser les fluctuations non gaussiennes. De façon surprenante, nous mettons en évidence un lien inattendu entre ce modèle et les cumulants libres. Nous étudions également ces modèles dans un potentiel harmonique, en utilisant des variables de Kesten. Cette méthode nous permet d'écrire une équation intégrale pour la distribution stationnaire, que nous résolvons dans certains cas. Enfin, nous généralisons la dualité de Siegmund — un concept peu connu dans la littérature physique — aux particules actives, aux modèles de diffusion aléatoire, à la réinitialisation stochastique, et aux marches aléatoires en temps continu. Cette dualité établit un lien direct entre les observables de premier passage et les propriétés spatiales d'un processus dual, que nous construisons explicitement.