Descente de gradient dans l'espace de Wasserstein pour l'échantillonnage : théorie et algorithmes

L’échantillonnage est un outil très utilisé en statistiques (méthodes bayésiennes, apprentissage statistiques) qui permet de représenter faiblement une mesure de probabilité via une intégration contre une classe de fonctions régulières. L’algorithme de Langevin est une méthode populaire qui fournit un échantillon approximativement distribué selon une mesure de probabilité définie sur R^d. Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons des résultats concernant la convergence d’une généralisation de l’algorithme de Langevin aux mesures définies sur un sous-ensemble convexe possiblement borné de R^d, et dans le cas où la mesure n’est pas nécessairement (relativement) log-concave. Nous justifions rigoureusement la convergence de cet algorithme sous des hypothèses raisonnables. L’analyse présentée dans cette partie s’inscrit dans l’interprétation de l’échantillonnage comme un problème d’optimisation dans l’espace de Wasserstein. Calculer une moyenne est une opération basique permettant de réduire un ensemble complexe de données à un élément représentatif interprétable. Dans l’espace de Wasserstein, M. Agueh et G. Carlier ont défini le barycentre comme la moyenne de Fréchet, qui a reçu une attention grandissante de la part de communautés au sein et en-dehors des mathématiques. Ceci tient en partie à ce que le barycentre de Wasserstein fournit un représentant plus interprétable que d’autres notions de moyennes dans certaines situation (par exemple, en traitement d’images). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous proposons une méthode basée sur une descente de gradient dans l’espace des couplages de Wasserstein pour échantillonner le barycentre de mesures à densité définies sur R^d. Notre méthode consiste en une relaxation de la formulation multimarginale du barycentre, où la contrainte de couplage est remplacée par une pénalité.