Contrôle, observabilité et phénomènes de non-concentration pour les équations de la chaleur et des ondes en contexte géométrique

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes de non-concentration des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP), liés au contrôle à zéro de l'équation de la chaleur et à la stabilisation uniforme de l'équation des ondes amorties, respectivement. Le chapitre introductif regroupe un certain nombre de résultats reliant contrôle, observabilité et inégalités de non-concentration pour ces deux équations. L'équation de la chaleur est connue pour sa décroissance rapide des hautes fréquences. Ainsi, il suffit pour la contrôler d'agir sur un sous-ensemble qui capture une proportion significative de la norme de toute fonction localisée spectralement. Dans les chapitres 2 à 4, on étudie des inégalités de projecteur spectral qui traduisent exactement cette propriété, sur des variétés riemanniennes non-compactes. Ces inégalités entraînent des résultats d'observabilité et de contrôle à zéro pour la chaleur. Dans le chapitre 2, on montre que les sous-ensembles mesurables permettant de contrôler la chaleur sur le demi-plan hyperbolique sont exactement ceux dont la mesure satisfait une propriété d'équidistribution, dite condition d'épaisseur. Dans le chapitre 3, on généralise ce résultat à deux égards, d'abord en montrant que les inégalités spectrales sont vraies depuis des ensembles épais sur toute surface hyperbolique géométriquement finie, puis en montrant que l'équation de la chaleur n'est pas contrôlable depuis des ensembles non-épais (du moins dans un cadre L²) sur toute variété à courbure de Ricci minorée. Dans le chapitre 4, on esquisse une généralisation du caractère suffisant de la condition d'épaisseur à un éventail plus large de variétés, de dimension quelconque et ne satisfaisant plus qu'une condition de courbure sectionnelle bornée. On donne la première étape de la démonstration de ce résultat, c'est-à-dire la construction de cartes locales suffisamment grandes et dans lesquelles la métrique est contrôlée de manière satisfaisante. Les outils employés dans ces chapitres relèvent principalement du contrôle des EDP, de l'analyse harmonique et de l'analyse géométrique. Dans le cinquième et dernier chapitre, on traite un problème de stabilisation des ondes sur les tores par des amortissements discontinus. Contrairement au problème précédent, les entraves à la stabilisation sont ici des solutions hautes-fréquences de l'équation des ondes, très concentrées et se propageant le long des géodésiques de la variété. Les techniques développées dans ce chapitre reflètent cette différence, et consistent en une analyse fine des propriétés de (non-)concentration de quasimodes hautes-fréquences du Laplacien au voisinage d'une géodésique, à l'aide de mesures 2- et 3-microlocales.