Conjectura de MariltonCR dos Primos Encaixados

Abstract (v5) We reformulate and consolidate the “spectral–probabilistic–CRT” framework underlying the MariltonCR Theorem on the Periodicity of Integers Free of Small Divisors in Consecutive Blocks. Fix m≥2m\ge2 and a block Km(a)={am+1,…,am+m}K_m^{(a)}=\{am{+}1,\dots,am{+}m\}. The block is completely marked if every element is divisible by some d∈{2,…,m}d\in\{2,\dots,m\}. The proof proceeds through the following pillars: Truncated spectral lemma (parametric). For a fixed κ∈(0,1)\kappa\in(0,1) and Q0=⌊κm⌋Q_0=\lfloor \kappa m\rfloor, if Km(a)K_m^{(a)} is completely marked then the low-band energy of the centered signal xx (its projections on Ramanujan sums cqc_q for q≤Q0q\le Q_0) is ≫∣U∣\gg |U| and accounts for a constant fraction of the total energy. This justifies using a fixed window (in practice κ=1/12\kappa=1/12). Inverse inequality (bridge to small primes). Low-band energy forces a log-weight contribution from primes p≤Q0p\le Q_0: for large mm, ∑p∈Sp≤Q0log⁡p ≥ c1(κ) m−c2(κ) log⁡m,\sum_{\substack{p\in S\\ p\le Q_0}}\log p\ \ge\ c_1(\kappa)\,m - c_2(\kappa)\,\log m, so many primes from SS already lie in the small range p≤κmp\le \kappa m. Probabilistic method with modular dependencies. We model the covering by residues rpr_p via the lopsided LLL + Moser–Tardos, ensuring a coverage threshold Yt≥λY_t\ge \lambda in all columns t∈Ut\in U. A Janson/second-moment argument yields low conditional criticality: for many “medium” primes p≥m/(log⁡m)Bp\ge m/(\log m)^B (fixed BB), at least one half of the residues rpr_p are “good” in the sense that an isolated change rp←rr_p\leftarrow r preserves the completely marked block. Final step via CRT and honest counting. Gathering the “good” residue sets RpR_p with ∣Rp∣≥p/2|R_p|\ge p/2 for pp in a large subset T′⊆ST'\subseteq S (∣T′∣≍m/log⁡m|T'|\asymp m/\log m), the CRT produces ≫LT′/2∣T′∣\gg L_{T'}/2^{|T'|} excellent classes for A mod LT′A\bmod L_{T'}, where LT′=∏p∈T′pL_{T'}=\prod_{p\in T'}p. This yields asymptotic separation of the first completely marked block: ammin⁡ ≥ m⋅exp⁡ ⁣{c m−C mlog⁡m},am_{\min}\ \ge\ m\cdot \exp\!\Big\{c\,m - C\,\tfrac{m}{\log m}\Big\}, and, under a mild local equidistribution hypothesis, improves to ammin⁡≥m ecm/poly(m)am_{\min}\ge m\,e^{c m}/\mathrm{poly}(m). Consequences near m2m^2. Under HκH_\kappa (items 1–2), we deduce: I0=(m2,m2+m]I_0=(m^2,m^2{+}m] and I1=(m2+m,m2+2m]I_1=(m^2{+}m,m^2{+}2m] contain primes; I2I_2 contains a prime when mm is odd; if mm is even and m+1m{+}1 is prime, HκH_\kappa alone may not suffice (the unique “high” composite (m+1)2(m{+}1)^2 must be isolated); for t∈{3,5,7}t\in\{3,5,7\}, in the no-carry regime (automatic for m≥3,7,13m\ge 3,7,13, respectively), any n>1n>1 coprime to PmP_m in ItI_t is prime; the mirrored intervals It′I'_t satisfy analogous statements. Computational certificates (κ=1/12\kappa=1/12). We report spreadsheets/figures for two empirical metrics supporting the theory: (i) the fraction of energy captured in the window q≤⌊m/12⌋q\le \lfloor m/12\rfloor; and (ii) αlog⁡(Q0)=(∑p∈S, p≤Q0log⁡p)/θ(Q0)\alpha_{\log}(Q_0)=\big(\sum_{p\in S,\ p\le Q_0}\log p\big)/\theta(Q_0), with typical values αlog⁡≳0.97\alpha_{\log}\gtrsim 0.97. What’s new in v5. This version (a) makes the spectral lemma parametric in κ\kappa with an explicit constant trail; (b) spells out the bridge “low-band ⇒\Rightarrow small primes”; (c) cleanly separates the role of “free of small divisors” from carry effects in products (m+i)(m+j)(m+i)(m+j); (d) isolates the sole obstruction in I2I_2 when mm is even and m+1m{+}1 is prime; (e) integrates computational certificates and the thresholds m≥3,7,13m\ge 3,7,13 for t=3,5,7t=3,5,7. Data & reproducibility. We include energia_kappa.csv and alpha_log_kappa.csv, generated by a script implementing a CRT-consistent covering, the Ramanujan-spectral computation, and the above metrics, enabling independent verification. Keywords. covering systems; Ramanujan sums; Lovász Local Lemma; Janson inequality; Chinese remainder theorem; sieves. Teorema de MariltonCR da Periodicidade dos Números Livres de Pequenos Divisores em Intervalos Consecutivos apresentada na v5: Resumo (v5) Apresentamos uma reformulação e consolidação do arcabouço “espectral–probabilístico–CRT” que sustenta o Teorema de MariltonCR da Periodicidade dos Números Livres de Pequenos Divisores em Intervalos Consecutivos. Fixado m≥2m\ge2 e um bloco Km(a)={am+1,…,am+m}K_m^{(a)}=\{am{+}1,\dots,am{+}m\}, chamamos o bloco de completamente marcado se todos os seus elementos são divisíveis por algum d∈{2,…,m}d\in\{2,\dots,m\}. O fio condutor da prova é: Lema espectral truncado (paramétrico). Para um parâmetro fixo κ∈(0,1)\kappa\in(0,1) e Q0=⌊κm⌋Q_0=\lfloor \kappa m\rfloor, se Km(a)K_m^{(a)} é completamente marcado, então a energia de baixa banda do sinal centrado xx (projeções em somas de Ramanujan cqc_q para q≤Q0q\le Q_0) é ≫∣U∣\gg |U| e ocupa fração constante da energia total. Isso justifica trabalhar com uma janela fixa (na prática κ=1/12\kappa=1/12). Desigualdade inversa (ponte para primos pequenos). A energia na faixa q≤Q0q\le Q_0 força um peso logarítmico substancial em primos p≤Q0p\le Q_0: para mm grande, ∑p∈Sp≤Q0log⁡p ≥ c1(κ) m−c2(κ) log⁡m,\sum_{\substack{p\in S\\ p\le Q_0}}\log p\ \ge\ c_1(\kappa)\,m - c_2(\kappa)\,\log m, o que em particular dá muitos primos de SS já no regime p≤κmp\le \kappa m. Método probabilístico com dependências modulares. Modelamos a cobertura por resíduos rpr_p via LLL lopsided + Moser–Tardos, garantindo um limiar de cobertura Yt≥λY_t\ge \lambda em todas as colunas t∈Ut\in U. Um argumento de Janson/2º momento mostra baixa criticidade condicional: para muitos primos “médios” p≥m/(log⁡m)Bp\ge m/(\log m)^B (com BB fixo), ao menos metade dos resíduos rpr_p são “bons” no sentido de que uma troca isolada rp←rr_p\leftarrow r preserva o bloco completamente marcado. Passo final via CRT e contagem honesta. Colecionando os conjuntos RpR_p de resíduos bons (∣Rp∣≥p/2|R_p|\ge p/2) para pp em um subconjunto grande T′⊆ST'\subseteq S (∣T′∣≍m/log⁡m|T'|\asymp m/\log m), o CRT produz ≫LT′/2∣T′∣\gg L_{T'}/2^{|T'|} classes excelentes para A mod LT′A\bmod L_{T'} com LT′=∏p∈T′pL_{T'}=\prod_{p\in T'}p. Daqui obtemos a separação assintótica do primeiro bloco completamente marcado: ammin⁡ ≥ m⋅exp⁡ ⁣{c m−C mlog⁡m},am_{\min}\ \ge\ m\cdot \exp\!\Big\{c\,m - C\,\tfrac{m}{\log m}\Big\}, e, sob uma hipótese leve de equidistribuição local, melhora-se para ammin⁡≥m ecm/poly(m)am_{\min}\ge m\,e^{c m}/\mathrm{poly}(m). Consequências perto de m2m^2. Sob a hipótese HκH_\kappa (itens 1–2), deduzimos: I0=(m2,m2+m]I_0=(m^2,m^2{+}m] e I1=(m2+m,m2+2m]I_1=(m^2{+}m,m^2{+}2m] contêm primos; I2I_2 contém primo quando mm é ímpar; se mm é par e m+1m{+}1 é primo, HκH_\kappa sozinho pode não bastar (isola-se o único composto alto (m+1)2(m{+}1)^2); para t∈{3,5,7}t\in\{3,5,7\}, no regime sem carry (automaticamente se m≥3,7,13m\ge 3,7,13, resp.), todo n>1n>1 coprimo a PmP_m em ItI_t é primo; o espelho It′I'_t satisfaz as afirmações análogas. Certificados computacionais (κ=1/12\kappa=1/12). Reportamos planilhas/figuras com duas métricas empíricas que corroboram o quadro teórico: (i) fração de energia capturada na janela q≤⌊m/12⌋q\le \lfloor m/12\rfloor e (ii) αlog⁡(Q0)=(∑p∈S, p≤Q0log⁡p)/θ(Q0)\alpha_{\log}(Q_0)=\big(\sum_{p\in S,\ p\le Q_0}\log p\big)/\theta(Q_0), com valores típicos αlog⁡≳0.97\alpha_{\log}\gtrsim 0.97 em amostras. Novidades da v5. A versão atual: (a) torna o lema espectral paramétrico em κ\kappa com trilha de constantes; (b) explicita a ponte “baixa banda ⇒\Rightarrow primos pequenos”; (c) separa nitidamente o papel de “livre de pequenos divisores” vs. efeitos de carry nos produtos (m+i)(m+j)(m+i)(m+j); (d) isola a única obstrução em I2I_2 quando mm é par e m+1m{+}1 é primo; (e) integra certificados computacionais e limiares m≥3,7,13m\ge 3,7,13 para t=3,5,7t=3,5,7. Dados e reprodutibilidade. Acompanhamos a v5 com arquivos energia_kappa.csv e alpha_log_kappa.csv, gerados por um script que implementa a cobertura CRT-consistente, o cálculo espectral via somas de Ramanujan e as métricas acima, permitindo verificação independente. Palavras-chave. covering systems; somas de Ramanujan; Lovász Local Lemma; desigualdade de Janson; teorema chinês do resto; crivos.