Propagation des ultrasons dans des milieux aléatoires multi-échelles et estimation de vitesses effectives

L'échographie est une méthode d'imagerie médicale très répandue. Son objectif principal est de fournir des images structurelles précises des tissus biologiques. Ces dernières années, un changement de paradigme s'est opéré, et le but est maintenant aussi d'obtenir des informations quantitatives sur les paramètres physiques des tissus, qui peuvent ensuite être utilisées pour le diagnostic.La vitesse de propagation des ondes acoustiques dans les tissus mous joue un double rôle, puisque sa bonne estimation peut être utilisée pour le diagnostic de cancer du sein ou de la stéatose hépatique, mais elle détermine aussi la qualité de la reconstruction structurelle. En effet, l'image est traditionnellement produite en repropageant numériquement les échos mesurés, à la vitesse du son dans l'eau. Cependant, lorsque la vitesse du son à l'intérieur des tissus n'est pas exactement celle de l'eau, des artéfacts non physiques apparaissent sur les images.Afin d'établir un estimateur quantitatif de cette vitesse de propagation, il est important de comprendre théoriquement la propagation des ondes acoustiques dans les tissus. Il est admis que les échos sont générés par les petites et nombreuses hétérogénéités à l'intérieur des tissus (noyaux de cellules, mitochondries...). Bien que le modèle de Born soit couramment utilisé, il ne prend pas en compte les effets des variations de vitesse effective dues aux hétérogénéités sous-résolues. L'objectif de cette thèse est donc d'établir un modèle de propagation d'onde plus sophistiqué, capable de représenter les variations de vitesse effectives dans les différents tissus. Dans un second temps, on s'attachera à étudier des estimateurs de la vitesse du son introduits précédemment par Alexandre Aubry dans ses travaux.Nous considérons donc un milieu homogène dans lequel se trouvent de nombreuses hétérogénéités microscopiques. Les hétérogénéités étant sous-résolues et leur distribution inconnue et inaccessible, on modélisera leur nombre et leur position de manière aléatoire. Afin d’obtenir une représentation simple du champ diffusé par le milieu, le formalisme et les techniques d'homogénéisation stochastique quantitative sont employés. En particulier, une asymptotique d’ordre élevé est obtenue.Nous poursuivons ensuite une analyse asymptotique de la fonctionnelle d'imagerie à partir du modèle d’ordre élevé précédemment obtenu. De plus, l'étude théorique des estimateurs introduits par Alexandre Aubry et de son équipe est menée permet de confirmer et de retrouver une partie des résultats expérimentaux. En particulier, il est possible de retrouver la vitesse effective des tissus à partir d'une moyenne spatiale locale de la fonctionnelle d'imagerie. Des simulations numériques attestent de chacun des résultats théoriques majeurs prouvés dans cette thèse.