Relations de sensibilité et théorème de vérification pour les systèmes de contrôle stochastiques en dimension infinie

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les conditions d’optimalité nécessaires et suffisantes pour les systèmes de contrôle où les contrôles interviennent à la fois dans les termes de dérive et de diffusion. En particulier, nous étudions le principe du maximum de Pontryagin (PMP) et le principe de programmation dynamique (PPD). Notre objectif est d’explorer les relations de sensibilité qui relèvent les liens entre le PMP et le PPD, ainsi que d’établir le théorème de vérification, qui sert de condition suffisante d’optimalité pour les problèmes étudiés. Dans la première partie de la thèse, nous établissons les relations de sensibilité. Nous commençons par introduire le principe du maximum de Pontryagin (PMP) stochastique dans des espaces de dimension infinie, visant à résoudre les principaux défis inhérents aux problèmes de contrôle optimal régis par des systèmes stochastiques en dimension infinie. Ensuite, nous démontrons le principe de programmation dynamique pour ces systèmes sans utiliser les solutions martingales. Enfin, nous établissons les relations de sensibilité souhaitées. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur le théorème de vérification. Nous démontrons que la démonstration du théorème de vérification nécessite des hypothèses de régularité plus élevées sur la fonction de valeur associée au problème de contrôle optimal, en raison de la présence de l’opérateur linéaire non borné dans l’équation d’état. Nous montrons ensuite que, pour un large éventail d’opérateurs linéaires non bornés, ces hypothèses sont raisonnables.