Generalized affine models and symmetries of partial differential equations

Cette thèse se consacre à étudier les symétries de Lie d'une classe particulière d'équations différentielles partielles (EDP), désignée sous le nom d'équation de Kolmogorov rétrograde. Cette équation joue un rôle essentiel dans le cadre des modèles financiers, notamment en lien avec le modèle de Longstaff-Schwartz, qui est largement utilisé pour la valorisation des options et des produits dérivés.Dans un contexte plus générale, notre étude s'oriente vers l'analyse des symétries de Lie de l'équation de Kolmogorov rétrograde, en introduisant un terme non linéaire. Cette généralisation est significative, car l'équation ainsi modifiée est liée à une équation différentielle stochastique rétrograde et progressive (EDSRP) via la formule de Feynman-Kac généralisée (non linéaire). Nous nous intéressons également à l'exploration des symétries de cette équation stochastique, ainsi qu'à la manière dont les symétries de l'EDP sont connectées à celles de l'EDSRP.Enfin, nous proposons un recalcul des symétries de l'équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) et de l'EDSRP, en adoptant une nouvelle approche. Cette approche se distingue par le fait que le groupe de symétries qui opère sur le temps dépend lui-même du processus Y, qui constitue la solution de l'EDSR. Cette dépendance ouvre de nouvelles perspectives sur l'interaction entre les symétries temporelles et les solutions des équations.