L’équation de Schrödinger non-linéaire sur les graphes métriques

Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Schrödinger non-linéaire−∆u + λu = |u|ᵖ⁻²u (NLS)où ∆ := ∑ ∂ᵢᵢ est le laplacien, p, λ ∈ ℝ et p > 2.L'équation est considérée sur des ouverts de ℝᴺ ou, dans l'essentiel des chapitres,sur des graphes métriques.Tout d'abord, nous plantons le décor dans lequel les chapitres suivants sedéroulent. Ainsi, nous présentons l'équation elliptique superlinéaire (NLS),les graphes métriques et la formulation de (NLS) sur ceux-ci.Ensuite, nous introduisons plusieurs notions. En particulier, nous considéronsdeux façons d'aborder le problème d'une façon variationnelle : l'une basée surles points critiques de la fonctionnelle d'action sur la variété de Nehari, ce quimène aux (nodal) action ground states, l'autre basée sur les points critiques de lafonctionnelle d'énergie sur une contrainte de masse L², ce qui mène aux solutionsnormalisées. Suivent cinq chapitres, consacrés à :1. un théorème d'existence de solutions de (NLS) sur les graphes métriquesqui permet de construire des exemples où l'on peut comparer les notionsd'action ground state et de solution d'action minimale sur des domainesnon-compacts ;2. des résultats d'existence et de non-existence d'action ground states et denodal action ground states sur plusieurs classes de graphes métriques;3. une nouvelle méthode pour démontrer l'existence de solutions (positives etnodales) L²-normalisées de (NLS) pour la condition au bord de Dirichlet surdes ouverts bornés de ℝᴺ, y compris dans le régime masse-supercritique;4. la multiplicité infinie de solutions normalisées, sur des graphes métriques etdans le régime L²-supercritique, à l'équation de Schrödinger non-linéaire ànon-linéarité localisée;5. l'analyse asymptotique de (NLS) sur des graphes compacts dans le régimeasymptotique p → 2 grâce à une réduction de Lyapunov-Schmidt, l'étudedes nodal ground states s'annulant identiquement sur des arêtes sur desgraphes compacts en étoile et l'étude détaillée de solutions sur le « graphetétraèdre » à l'aide d'une preuve assistée par ordinateur utilisant des calculscertifiés grâce à l'arithmétique d'intervalles.Mots clés : équations elliptiques superlinéaires, NLS, graphes métriques,action ground states, energy ground states, nodal ground states, domaines non-compacts, solutions normalisées, régime masse-supercritique, indices de Morse,réduction de Lyapunov-Schmidt, unicité et symétries, arithmétique d'intervalles,preuves assistées par ordinateur