Log-surfaces de Riemann et Tours de Liouville

Dans cette thèse, nous étudions géométriquement certaines classes de fonctions par l'étude des log-surfaces de Riemann associées à leurs germes holomorphes et de leur ensemble de singularités. Une log-surface de Riemann (S, π) est une surface de Riemann S équipée d'un difféomorphisme holomorphe local π : S → C. En relevant la métrique euclidienne via l'application π, on obtient un espace métrique ; en complétant cet espace métrique, nous obtenons un lieu de singularités : c'est la complexité topologique de cet ensemble qui est propre aux classes de fonctions étudiées. L'un des résultats principaux de cette thèse est que certaines classes de fonctions, notamment celles obtenues à partir du corps des fonctions rationnelles à l'aide d'extensions logarithmiques successives (ou encore celles obtenues à l'aide d'extensions algébriques et exponentielles successives), ont des log-surface de Riemann associées dont le dérivé n-ième du lieu de singularités est vide pour un entier n assez grand. Ce résultat est faux dans le cas plus général des fonctions Liouvilliennes, obtenues à partir d'extensions exponentielles et intégrales. Dans les cas des fonctions élémentaires, qui sont obtenues à l'aide d'extensions exponentielles et logarithmiques, la question reste ouverte.Une partie importante de la thèse est consacrée à l'étude des fonctions entières : on peut leur associer une log-surface de Riemann qui correspond à la log-surface de Riemann d'un germe de l'inverse de la fonction entière considérée. Les feuillets de ces log-surfaces de Riemann s'étendent indéfiniment dans toutes les directions, sauf éventuellement pour un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. La métrique log-euclidienne ne permet pas une correspondance bijective entre les lieux asymptotiques finis de la fonction entière et les singularités transcendantes de la log-surface de Riemann associée ; c'est pour cette raison que nous introduisons une métrique plus fine, due à Mazurkiewicz. Pour les fonctions entières d'ordre fini, les singularités transcendantes sont en nombre fini et peuvent être classifiées : ce sont soit des points de ramification logarithmiques, soit des points d'accumulation de points de ramification d'ordre fini. Cette classification correspond à celle donnée par Iversen pour les inverses de fonctions méromorphes et nous obtenons des versions géométriques des résultats de Bergweiler et Eremenko.