Contrôleurs d'ordre réduit pour les systèmes à retard : Singularités et mise en œuvre

Cette thèse explore deux problématiques principales liées à la stabilité des systèmes dynamiques avec retards temporels.Le premier problème traite de l'impact de l'approximation de l'action dérivée dans un système en boucle fermée avec des contrôleurs PD, en utilisant une approximation par différences retardées dans un cadre fréquentiel. Les systèmes étudiés sont linéaire invariant dans le temps (LTI), à mono entrée/mono sortie (SISO). Plus précisément, l'étude examine les conditions dans lesquelles une telle approximation peut déstabiliser le système, ce qui est qualifié de scénario mal posé. Ce problème est analysé en deux parties : (1) Pour les approximations impliquant un ou deux retards, des conditions nécessaires et suffisantes sont établies pour garantir que le système reste bien posé, c'est-à-dire qu'il préserve sa stabilité lorsque l'action dérivée est remplacée par l'approximation par différences retardées avec des retards suffisamment petits. Une approche paramétrique est adoptée, en se concentrant sur le comportement du système par rapport à ces paramètres (gain de contrôle, retards). Il convient de noter que le retard utilisé dans l'approximation peut également être interprété et utilisé comme un paramètre de contrôle. (2) Pour les cas impliquant un nombre arbitraire de retards, les effets de l'augmentation du nombre de retards sur les conditions de bien-posé sont examinés. Comme dans la première partie, une approche paramétrique est utilisée pour analyser le système. Un outil clé dans les deux cas est la méthode du diagramme de Newton, qui permet d'exprimer les solutions de l'équation caractéristique sous forme de séries formelles. Cela facilite l'analyse de l'influence des paramètres spécifiques sur la stabilité du système.La deuxième partie de la thèse examine la stabilisation des systèmes présentant un comportement à phase non minimale et des retards d'entrée-sortie à l'aide de contrôleurs PI. Ces systèmes suscitent un intérêt particulier en raison de leur pertinence dans diverses applications physiques, notamment les circuits électriques et la dynamique des aéronefs. L'analyse s'appuie sur la propriété de continuité des racines caractéristiques par rapport aux paramètres du système. En utilisant la technique de "D-partition", une méthodologie est développée pour identifier les régions de stabilité dans l'espace des paramètres de contrôle et déterminer les gains de contrôle permettant d'obtenir le taux de décroissance le plus rapide. Le théorème des fonctions implicites est appliqué pour détecter la direction du mouvement des racines caractéristiques dans le plan complexe. L'efficacité de la méthodologie proposée est validée par des simulations numériques et une expérience physique impliquant des convertisseurs d'électronique de puissance.Outre le cadre fréquentiel, les deux problèmes partagent plusieurs points communs :-Analyse paramétrique des systèmes (LTI SISO) avec contrôleurs d'ordre réduit : Les deux approches reposent sur des contrôleurs d'ordre réduit avec un nombre "reduit" de paramètres de contrôle. Plus précisément, dans le premier problème, deux gains de contrôle et un retard sont considérés ; dans le second, deux gains de contrôle sont utilisés.-Comportement singulier : Les deux problèmes présentent des comportements singuliers. Dans le premier problème, cela découle de la sensibilité des racines caractéristiques au paramètre de retard, avec la remarque importante que, dans certains cas, un "petit" retard dans l'approximation peut induire une instabilité du système en boucle fermée. Dans le second problème, cela provient de l'abscisse spectrale, la racine la plus à droite de la fonction caractéristique, où des singularités se produisent en raison de multiplicités supérieures à un, correspondant souvent à des cas optimaux.