Méthodes de parallélisation et d'assimilation. Applications aux écoulements gravitaires

Cette thèse s'articule autour de trois concepts : le calcul parallèle, l'assimilation de données via les observateurs de Luenberger, et le calcul d'exponentielle matricielle. Les applications considérées sont principalement liées aux écoulements gravitaires. Le premier chapitre introduit les concepts explorés tout au long de cette thèse. Dans le deuxième chapitre, nous considérons une approximation rationnelle spécifique de la fonction exponentielle pour proposer un algorithme de calcul de l'exponentielle matricielle dans le cas hermitien. En utilisant la décomposition en éléments simples, nous obtenons une méthode parallélisable, où le calcul est réduit à des résolutions indépendantes de systèmes linéaires. Nous analysons les effets des erreurs d'arrondi sur la précision de notre algorithme. Nous montrons l'efficacité numérique de cette méthode et la comparons aux algorithmes de type Krylov. Nous complétons ce travail en présentant l'intégration de notre méthode dans des intégrateurs exponentiels en temps de type Runge-Kutta. Dans le troisième chapitre, nous présentons une stratégie pour coupler un observateur de Luenberger évoluant sur un intervalle de temps non borné avec l'algorithme de parallélisation en temps ParaExp, qui opère sur un intervalle de temps borné. Nous présentons une stratégie qui préserve le taux de convergence de l'observateur malgré la parallélisation en temps. Le chapitre se termine par quelques tests numériques qui démontrent la performance de notre approche. Le quatrième chapitre se concentre sur l'application des observateurs de type Luenberger à un système de linearized waters waves dans le cas d'observation partielle de la surface libre. Nous démontrons que l'observateur ne converge pas en raison d'obstructions liées au mode 0 et aux hautes fréquences dans l'état observé. Nous montrons que la modification de l'observateur par l'ajout de projecteurs de fréquence moyenne nulle et de basses fréquences résout le problème et rétablit la convergence. Enfin, nous étayons nos déclarations théoriques par des tests numériques, qui incluent des exemples dans le cadre concret de l'hydrodynamique.